मान लीजिए S उन सभी शब्दों का समुच्चय है जिन्हें GARDEN शब्द के सभी अक्षरों को व्यवस्थित करके बनाया जा सकता है। समुच्चय S में से, एक शब्द यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चुने गए शब्द में स्वर वर्णानुक्रम में नहीं होने की प्रायिकता क्या है?

समांतर श्रेढ़ी \(3,8,13, \ldots . .373\) के उन सभी पदों, जो \(3\) से विभाज्य नहीं है, का योग बराबर है________

निम्न में से कौन सा बिंदु, दीर्घवृत्त \(\frac{ x ^{2}}{4}+\frac{ y ^{2}}{2}=1\) की किसी भी स्पर्श रेखा पर इसकी किसी एक नाभि से खींचे गए लंब के पाद के बिंदु पथ पर स्थित है ?

माना \(\mathrm{x}=(8 \sqrt{3}+13)^{13}\) और \(\mathrm{y}=(7 \sqrt{2}+9)^9\) है। यदि \([\mathrm{t}]\) महत्तम पूर्णाक \(\leq \mathrm{t}\) है, तब

माना \(\vec{a}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\)। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) एक सदिश इस प्रकार है कि \(\vec{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\), \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \vec{a}|^2=8\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{4}\) है, तो \(|10-3 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}|+|\overrightarrow{\mathrm{d}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2\) = ___

मान लीजिए कि बिंदु \((\lambda, 2, 3)\) से रेखा \(\dfrac{x-4}{1} = \dfrac{y-9}{2} = \dfrac{z-5}{1}\) पर डाले गए लम्ब का पाद बिंदु \((1, \mu, 2)\) है। तो रेखाओं \(\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{3} = \dfrac{z+4}{6}\) और \(\dfrac{x-\lambda}{2} = \dfrac{y-\mu}{3} = \dfrac{z+5}{6}\) के बीच की दूरी बराबर है:

मान लीजिए \(a_1, a_2, \ldots, a_{2024}\) एक समांतर श्रेढ़ी है इस प्रकार कि \(a_1+\left(a_5+a_{10}+a_{15}+\ldots+a_{2020}\right)+a_{2024}=2233\)। तब \(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{2024}\) = __________

माना \(n >2\) एक पूर्णाक है तथा एक शहर में \(n\) मेट्रो स्टेशन है, जो एक वृत्ताकार पथ पर स्थित है। प्रत्येक दो स्टेशन एक सीधे ट्रैक (Track) से जोड़े गए है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक दो निकटतम स्टेशन ब्लू लाईन (Blue line) से तथा अन्य सभी दो स्टेशन रेड लाईन (Red line) से जोड़े गए है। यदि रेड लाईन्स की संख्या ब्लू लाईन्स की संख्या का \(99\) गुना है, तो \(n\) का मान है -

मानाकि वृत्त \(C\) सरल रेखा \(L _1: 4 x -3 y + K _1=0\) तथा \(L _2: 4 x -3 y + K _2=0, K _1, K _2 \in R\) को स्पर्श करता टै। यदि एक सरल रेखा वृत्त \(C\) के केन्द्र से गुजरती है \(L _1\) को \((-1,2)\) तथा \(L _2\) को \((3,-6)\) पर प्रतिच्छेद करती है तो वृत्त \(C\) का समीकऱण होगा

यदि \(I _{ m , n }=\int \limits_{0}^{1} x ^{ m -1}(1- x )^{ n -1} dx , m , n \geq 1\) तथा \(\int \limits_{0}^{1} \frac{ x ^{ m -1}+ x ^{ n -1}}{(1+ x )^{ m + n }} dx =\alpha I _{ m , n }, \alpha \in R\), है, तो \(\alpha\) बराबर है

\(\mathrm{m}, \mathrm{n}>0\) के लिए माना \(\alpha(\mathrm{m}, \mathrm{n})=\int_0^2 \mathrm{t}^{\mathrm{m}}(1+3 \mathrm{t}) \mathrm{dt}\) है। यदि \(11 \alpha(10,6)+18 \alpha(11,5)=\mathrm{p}(14)^6\) तो \(\mathrm{p}\) बराबर _______________है।

यदि फलन \(\sin ^{-1}\left(\frac{3 x-22}{2 x-19}\right)+\log _e\left(\frac{3 x^2-8 x+5}{x^2-3 x-10}\right)\) का प्रांत \((\alpha, \beta]\) है, तो \(3 \alpha+10 \beta\) = ...........

माना \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) वर्धमान धनात्मक संख्याओं की एक \(G.P.\) है। माना इसके छठे और आठवें पदों का योग \(2\) है तथा इसके तीसरे और पाँचवें पदों का गुणनफल \(\frac{1}{9}\) है। तो \(6\left(a_2+a_4\right)\left(a_4+a_6\right)\) बराबर है।