मान लीजिए कि बिंदु \( P(2,3) \) से खींची गई दो सीधी रेखाएँ, जो रेखा \( x+y=6 \) को बिंदु P से \( \sqrt{\frac{2}{3}} \) की दूरी पर मिलती हैं, धनात्मक x-अक्ष के साथ \( \theta_{1} \) और \( \theta_{2} \) कोण बनाती हैं। तब \( (\theta_{1}+\theta_{2}) \) का मान ___ है।

\(k\) के सभी मानों के समुच्चय का अन्तराल, जिसके लिये \(\left(\tan ^{-1} x \right)^3+\left(\cot ^{-1} x \right)^3= k \pi^3, x \in R\) है, होगा

माना \(\vec{a}=\hat{ i }-\hat{ j }, \overrightarrow{ b }=\hat{ i }+\hat{ j }+\hat{ k }\) तथा \(\overrightarrow{ c }\) ऐसे सदिश हैं कि \(\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ b }=\overrightarrow{0}\) तथा \(\overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ c }=4\) है, तो \(|\overrightarrow{ c }|^{2}\) बराबर है \(-\)

माना \(R -\{-1,1\}\) पर परिभाषित एक वास्तविक मान फलन \(f\) \(f(x)=3 \log _{e}\left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac{2}{x-1}\) द्वारा दिया गया है। तो फलन \(f( x )\) निम्न में से किस अंतराल में वर्धमान है ?

माना \(f ( x )= x \cdot\left[\frac{ x }{2}\right],-10 <  x < 10\), है जहाँ \([ t ]\) महत्तम पूर्णाक फलन है, तो \(f\) के असंतत बिन्दुओं की संख्या है

एक टावर के शिखर का, टावर के उत्तर की ओर एक बिन्दु \(A\) से उन्नयन कोण \(\alpha\) है तथा \(A\) से पश्चिम की ओर \(9\) इकाई दूरी पर एक बिन्दु \(B\) से उन्नयन कोण \(\cos ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)\) है। यदि टावर से बिन्दु \(B\) की दूरी \(15\) इकाई है, तो \(\cot \alpha\) बराबर है:

जिसके लिए, प्रत्येक \(t \in \mathbb{R}\) के लिए सदिश \(\vec{a}=\alpha t \hat{i}+6 \hat{j}-3 \hat{k}\) और \(\vec{b}=t \hat{i}-2 \hat{j}-2 \alpha t \hat{k}\) अधिक कोण बनाते हों, ऐसे सभी \(a\) का समुच्चय .............. है।

\(x=f(y)\) अवकल समीकरण \(y d x-\left(x+2 y^{2}\right) d y=0\) का हल है। यदि \(f(-1)=1\) है, तो \(f(1)\) बराबर है 

माना \(\frac{1}{a}\) और \(\frac{1}{b}\) का समांतर माध्य \(\frac{5}{16}\) है, \(a>2\)। यदि \(\alpha\) इस प्रकार है कि \(a, 4, \alpha, b\) समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो समीकरण \(\alpha x^2-a x+2(\alpha-2 b)=0\) के मूल ___ होंगे।

माना \(R\) पर \(f\) तथा \(g\) दो ऐसे अवकलनीय फलन है कि सभी \(x \in R\) के लिए \(f^{\prime}(x) > 0\) तथा \(g^{\prime}(x) < 0\) है, तो सभी \(x\) के लिए

श्रेणी \(1+3+11+25+45+71+.\). के 20 पदों तक का योग = __________

माना तीन अशून्य सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=0\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}}{2}\) है। यदि सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}\) हो, तो \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})\) बराबर है

अंकों 0, \(1,2,3,4,5,6,7\) का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली 50000 से बड़ी, विभिन्न 5 अंकीय संख्याओं की संख्या, इस प्रकार कि उनके पहले और अंतिम अंकों का योग 8 से अधिक न हो, वह __________ है।