मान लीजिए एक त्रिभुज के शीर्षों \(A, B\) और \(C\) के स्थिति सदिश क्रमशः \(2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, \quad \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}\) और \(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\) हैं। मान लीजिए त्रिभुज के लंब केंद्र से भुजाओं \(\mathrm{AB}, \mathrm{BC}\) और \(\mathrm{CA}\) पर खींचे गए लंबों की लंबाइयां क्रमशः \(l_1, l_2\) और \(l_3\) हैं, तो \(l_1^2+l_2^2+l_3^2\) = ...........

\(\sum \limits_{ k =0}^6{ }^{51- k } C _3\) बराबर है -

The first term of an A.P. of \(30\) non-negative terms is \(\dfrac{10}{3}\). If the sum of this A.P. is the cube of its last term, then its common difference is: \(30\) गैर-ऋणात्मक पदों वाली एक समांतर श्रेणी (A.P.) का पहला पद \(\dfrac{10}{3}\) है। यदि इस समांतर श्रेणी का योग इसके अंतिम पद का घन है, तो इसका सार्व अंतर है:

यदि \(\lambda>0\), मान लीजिए कि सदिशों \(\vec{a}=\hat{i}+\lambda \hat{j}-3 \hat{k}\) और \(\vec{b}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}\) के बीच का कोण \(\theta\) है। यदि सदिश \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-\vec{b}\) परस्पर लंबवत हैं, तो \((14 \cos \theta)^2\) का मान ........... है।

माना \(z=1+a i, a>0\) एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है, कि \(z^{3}\) एक वास्तविक संख्या है, तो योग \(1+z+z^{2}+\ldots . .+z^{11}\) बराबर है

यदि \(A =\frac{1}{5 ! 6 ! 7 !}\left[\begin{array}{lll}5 ! & 6 ! & 7 ! \\ 6 ! & 7 ! & 8 ! \\ 7 ! & 8 ! & 9 !\end{array}\right]\), है, तो \(|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2 A ))|=.........\)

माना \([\cdot]\) महत्तम पूर्णांक फलन को व्यक्त करता है। यदि फलन \(f(x) = \sin^{-1}\left(\dfrac{x+[x]}{3}\right)\) का प्रांत \([\alpha, \beta)\) है, तो \(\alpha^2 + \beta^2\) बराबर है:

माना \(\vec{a}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\)। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) एक सदिश इस प्रकार है कि \(\vec{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\), \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \vec{a}|^2=8\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{4}\) है, तो \(|10-3 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}|+|\overrightarrow{\mathrm{d}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2\) = ___

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन I: \(f:R\rightarrow R\) द्वारा परिभाषित फलन \(f(x)=\frac{x}{1+|x|}\) एकैकी है।
कथन II: \(f:R\rightarrow R\) द्वारा परिभाषित फलन \(f(x)=\frac{x^{2}+4x-30}{x^{2}-8x+18}\) बहु-एकी है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:

संख्या \(\frac{4^{2022}}{15}\) का भिन्न भाग है

माना \(U _{ i =1}^{50} X _{ i }= U _{ i =1}^{ n } Y _{ i }= T\) है, जहाँ प्रत्येक \(X _{ i }\) में \(10\) अवयव हैं तथा प्रत्येक \(Y_{i}\) में \(5\) अवयव में है। यदि \(T\) का प्रत्येक अवयव ठीक \(20, X _{ i }\) समुच्चयों का एक अवयव है तथा ठीक \(6, Y _{ i }\) समुच्चयों का एक अवयव है, तो \(n\) का मान है

एक बिंदु \((-2,-1)\) से एक वक्र \(y^{2}=4 x\) पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई है, यदि उनके बीच का कोण \(\alpha\) है, तो \(|\tan \alpha|\) बराबर है

\(\mathrm{k}\) के पूर्णांक मानों, जिनके लिए समीकरण \(2 \mathrm{x}^2-8 \mathrm{x}+\mathrm{k}=0\) का एक मूल अंतराल \((1,2)\) में है, तथा दूसरा मूल अंतराल \((2,3)\) में है, की संख्या है: