The first term of an A.P. of \(30\) non-negative terms is \(\dfrac{10}{3}\). If the sum of this A.P. is the cube of its last term, then its common difference is: \(30\) गैर-ऋणात्मक पदों वाली एक समांतर श्रेणी (A.P.) का पहला पद \(\dfrac{10}{3}\) है। यदि इस समांतर श्रेणी का योग इसके अंतिम पद का घन है, तो इसका सार्व अंतर है:

माना \(2\) तथा \(1\) घात के दो वास्तविक बहुपद क्रमश: \(f ( x )\) तथा \(g ( x )\) है। यदि \(f ( g ( x ))=8 x ^2-2 x\) तथा \(g ( f ( x ))=4 x ^2+6 x +1\) है, तो \(f (2)+ g (2)\) का मान है।

माना \(k\) एक शून्येतर वास्तविक संख्या है। यदि \(f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\left( e ^{x}-1\right)^{2}}{\sin \left(\frac{x}{k}\right) \log \left(1+\frac{x}{4}\right)^{\prime}}, & x \neq 0 \\ 12 & , x=0\end{array}\right.\) एक संतत फलन है, तो \(k\) का मान है

यदि \(\left(\frac{\mathrm{x}^{\frac{5}{2}}}{2}-\frac{4}{\mathrm{x}^{\ell}}\right)^9\) के द्विपद प्रसार में अचर पद \(-84\) है तथा \(\mathrm{x}^{-3 \ell}\) का गुणांक \(2^\alpha \beta\) है, जहाँ \(\beta<0\) एक विषम संख्या है, तो \(|\alpha \ell-\beta|\) बराबर है______________. 

एक अनंन्त \(GPa , ar , a r ^{2}, a r ^{3}, \ldots\) का योग 15 है तथा इसके प्रत्येक पद का वर्ग करने का योग 150 है, तो \(a r^{2}, a r^{4}, a r^{6}, \ldots\) का योग है।

मान लीजिए कि मूलबिंदु से सर्वाधिक दूर स्थित बिंदु \(A(\alpha, \beta, \gamma)\), जो बिंदुओं \(P(1,-2,3)\) और \(Q(5,-4,7)\) से होकर जाने वाली रेखा पर इस प्रकार स्थित है कि \(|\mathrm{AP}|=9\) इकाई हो। तो \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\) ...........

मान लीजिए कि M, कोटि \(3 \times 3\) के सभी वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय है और मान लीजिए कि \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\) है। मान लीजिए कि
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) और \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
यदि \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), तो \(\alpha\) = ___

समीकरण \(\frac{\cos x }{1+\sin x }=|\tan 2 x |\), \(x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)-\left\{\frac{\pi}{4},-\frac{\pi}{4}\right\}\) के हलो का योग है

वक्रों \(x^{2}+y^{2}=4\) तथा \(y^{2}=3 x\) के बीच घिरे छोटे भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

माना \(5 \mathrm{f}(\mathrm{x})+4 \mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)=\frac{1}{\mathrm{x}}+3, \mathrm{x}>0\) है।  तब \(18 \int_1^2 f(x) d x\) का मान है:

यदि धनात्मक पदों की एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के दूसरे, तीसरे तथा चौथे पदों का योगफल \(3\) है तथा इसके छठे, सातवें और आठवें पदों का योगफल \(243\) है, तो इस गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम \(50\) पदों का योगफल है

यदि  \(f(x)=\frac{\sin x+\cos x-\sqrt{2}}{\sin x-\cos x}, x \in[0, \pi]-\left\{\frac{\pi}{4}\right\}\) हैं, तो \(\mathrm{f}\left(\frac{7 \pi}{12}\right) \mathrm{f}^{\prime \prime}\left(\frac{7 \pi}{12}\right)\) बराबर है

यदि \(\frac{1^3+2^3+3^3+\ldots \ldots . n \text { पदों तक }}{1 \cdot 3+2 \cdot 5+3 \cdot 7+\ldots \ldots . n \text { पदों तक }}=\frac{9}{5}\) है, तो \(\mathrm{n}\) का मान है