मान लीजिए \(\omega_1=(8+i) \sin \theta+(7+4 i) \cos \theta\) और \(\omega_2=(1+8 i) \sin \theta+(4+7 i) \cos \theta\) का गुणनफल \(\alpha+i \beta\) है, जहाँ \(\mathrm{i}=\sqrt{-1}\)। मान लीजिए p और q क्रमशः \(\alpha+\beta\) के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं।

मान लीजिए कि बिंदु \(P(0, -5, 0)\) का रेखा \(\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+1}{-2}\) के सापेक्ष प्रतिबिंब बिंदु \(R\) है और बिंदु \(Q\left(0, \dfrac{-1}{2}, 0\right)\) का रेखा \(\dfrac{x-1}{-1} = \dfrac{y+9}{4} = \dfrac{z+1}{1}\) के सापेक्ष प्रतिबिंब बिंदु \(S\) है। तो, समांतर चतुर्भुज \(PQRS\) के क्षेत्रफल का वर्ग __________ है।

यदि \(\sum \limits_{ k =1}^{10} \frac{ k }{ k ^4+ k ^2+1}=\frac{ m }{ n }\) है, जहाँ \(m\) तथा \(n\) असहभाज्य (co-prime) हैं, तो \(m + n\) बराबर है \(..............\)

मान लीजिए कि \(f:[0,3] \rightarrow\) A, \(f(x)=2 x^3-15 x^2+36 x+7\) द्वारा परिभाषित है और \(g:[0, \infty) \rightarrow B\), \(\mathrm{g}(x)=\frac{x^{2025}}{x^{2025}+1}\) द्वारा परिभाषित है। यदि दोनों फलन आच्छादक हैं और \(\mathrm{S}=\{x \in \mathbf{Z}: x \in \mathrm{~A}\) या \(x \in \mathrm{~B}\}\) है, तो \(\mathrm{n}(\mathrm{S})\) = ___

माना \(a\) के धन पूर्णांक मानों, जिन के लिए \(\frac{a x^2+2(a+1) x+9 a+4}{x^2-8 x+32} < 0, \forall x \in \mathbb{R}\) का समुच्चय \(\mathrm{S}\) है। तो \(\mathrm{S}\) में अवयवों की संख्या ........... है।

यदि एक वृत्त \(C\), जिसकी त्रिज्या 3 है, एक अन्य वृत्त \(x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-4=0\) को बाह्य रूप से बिंदु \((2,2)\) पर स्पर्श करता है, तो वृत्त \(C\) द्वारा \(x\)-अक्ष पर काटे गए अंतःखंड की लंबाई है

अवकल समीकरण \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{x}+\mathrm{a}}{\mathrm{y}-2}=0, \mathrm{y}(1)=0\) से प्राप्त संतृत वक्र \(C\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल \(4 \pi\) है। माना वक्र \(\mathrm{C}\) व \(\mathrm{y}\) अक्ष के प्रतिच्छेदन बिन्दु \(\mathrm{P}\) व \(\mathrm{Q}\) पर अभिलम्ब \(\mathrm{x}\) अक्ष को क्रमशः बिन्दु \(\mathrm{R}\) व \(\mathrm{S}\) पर मिलते हैं, तब रेखा खण्ड \(RS\) की लम्बाई है:

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

यदि \(A =\sum \limits_{ n =1}^{\infty} \frac{1}{\left(3+(-1)^{ n }\right)^{ n }} \quad\) और \(B =\sum \limits_{ n =1}^{\infty} \frac{(-1)^{ n }}{\left(3+(-1)^{ n }\right)^{ n }}\) then तो \(\frac{ A }{ B }\) का मान होगा

यदि एक समतल बिन्दुओं \((-1, \mathrm{k}, 0),(2, \mathrm{k},-1)\), \((1,1,2)\) से होकर जाता है एवं रेखा \(\frac{x-1}{1}=\frac{2 y+1}{2}=\frac{z+1}{-1}\), के समान्तर है, जब \(\frac{\mathrm{k}^2+1}{(\mathrm{k}-1)(\mathrm{k}-2)}\) का मान है :

यदि \(f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)\) एवं \(g(x)=f(1) x^2+x f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)\) हैं, तो \(f(4)-g(4)\) का मान __________ है।

यदि रेखा \(3 x-2 y+12=0\), परवलय \(4 y=3 x^2\) को बिंदुओं \(A\) और \(B\) पर प्रतिच्छेद करती है, तो परवलय के शीर्ष पर, रेखाखंड \(A B\) द्वारा अंतरित कोण = __________

माना बिन्दुओं \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) व \(\mathrm{D}\) के स्थिति सदिश \(5 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \lambda \hat{k}, \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k},-2 \hat{i}+\lambda \hat{j}+4 \hat{k}\) व \(-\hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k}\) हैं। माना समुच्चय \(S=\{\lambda \in \mathbb{R}\) : बिन्दु \(A, B, C\) व \(D\) सहतलीय हैं \(\}\) है, तब \(\sum_{\lambda \in S}(\lambda+2)^2\) बराबर है