एक थैले से, जिसमें 4 सफेद और 6 काली गेंदें हैं, दो गेंदें यादृच्छिक रूप से एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं। यदि पहली निकाली गई गेंद के काली होने की प्रायिकता, जबकि दूसरी निकाली गई गेंद भी काली है, \(\frac{m}{n}\) है, जहाँ \(\operatorname{gcd}(m, n)=1\), तो \(m+n\) = ___

बिंदु \((-1,2,-2)\) की समतलों \(2 x+3 y+2 z=0\) और \(x -2 y + z =0\) की प्रतिच्छेदन रेखा से दूरी है 

यदि \(S =\frac{7}{5}+\frac{9}{5^{2}}+\frac{13}{5^{3}}+\frac{19}{5^{4}}+\ldots .\) है, तो \(160 S\) बराबर है ........ |

फलन \(f ( x )=\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{4}+\tan ^{-1} x ,| x | \leq 1 \\ \frac{1}{2}(| x |-1),| x |>1\end{array}\right.\) 

यदि \((1+x)^n\) के विस्तार में \(x^4, x^5\) और \(x^6\) के गुणांक समांतर श्रेणी में हैं, तो \(n\) का अधिकतम मान ........... है।

माना दो इकाई सदिशों \(a\) तथा \(\hat{b}\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{4}\) है। यदि सदिशों \((a+\hat{b})\) तथा \((a+2 \hat{b}+2(a \times \hat{b}))\) क बीच का कोण \(\theta\) है, तो \(164 \cos ^2 \theta\) का मान बराबर है:

माना \(S =\{4,6,9\}\) तथा \(T =\{9,10,11, \ldots, 1000\}\) हैं। यदि \(A =\left\{ a _1+ a _2+\ldots+ a _{ k }: k \in N , a _1, a _2\right.\), \(\left.a_3, \ldots, a_k \in S\right\}\) है, तो समुच्चय \(T-A\) में सभी अवयवों का योग है \(..........।\)

7 बल्लेबाजों और 6 गेंदबाजों के एक समूह से, एक टीम के लिए 10 खिलाड़ी चुने जाने हैं, जिसमें कम से कम 4 बल्लेबाज और कम से कम 4 गेंदबाज शामिल होने चाहिए। एक बल्लेबाज और एक गेंदबाज जो क्रमशः टीम के कप्तान और उप-कप्तान हैं, उन्हें टीम में शामिल किया जाना चाहिए। तो ऐसे चयन के तरीकों की कुल संख्या है:

यदि \(\int x ^{5} e ^{-4 x ^{3}} dx =\frac{1}{48} e ^{-4 x ^{3}} f ( x )+ C\), जहाँ \(C\) एक समाकलन अचर है, तो \(f(x)\) होगा

एक त्रिभुज ABC के लिए, मान लीजिए \( \vec{p}=\vec{BC}, \vec{q}=\vec{CA} \) और \( \vec{r}=\vec{BA} \)। यदि \( |\vec{p}|=2\sqrt{3}, |\vec{q}|=2 \) और \( cos\hat{\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}} \) जहाँ \( \theta \) सदिश \( \vec{P} \) और \( \vec{q} \) के बीच का कोण है, तब \( |\vec{p}\times(\vec{q}-3\vec{r})|^{2}+3|\vec{r}|^{2} \) = ........... है।

\(x=0\) पर वक्र \(\sin y=x \sin \left(\frac{\pi}{3}+y\right) \text { के }\) अभिलंब का समीकरण है

मान \(\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}\) तथा \(\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}\) है। माना \(\vec{c}\) एक ऐसा सदिश है कि \(|\vec{c}-\vec{a}|=3,|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}|=3\) तथा \(\vec{c}\) और \(\vec{a} \times \vec{b}\) के बीच का कोण \(30^{\circ}\) है, तो \(\vec{a} \cdot \vec{c}\) बराबर है:

माना \(a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{10}\) गुणोत्तर श्रेणी में है जिसमें \(i =1,2, \ldots, 10\) के लिये \(a _{ i }>0\) है तथा युग्मों \(( r , k ), r , k \in N\) (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय) का समुच्चय \(S\) है जिसके लिये \(\left|\begin{array}{lll}\log _{ e } a_{1}^{ r } a _{2}^{ k } & \log _{ e } a _{2}^{ r } a _{3}^{ k } & \log _{ e } a _{3}^{ r } a _{4}^{ k } \\ \log _{ e } a _{4}^{ r } a _{5}^{ k } & \log _{ e } a _{5}^{ r } a _{6}^{ k } & \log _{ e } a _{6}^{ r } a _{7}^{ k } \\ \log _{ e } a _{7}^{ r } a _{8}^{ k } & \log _{ e } a _{8}^{ r } a _{9}^{ k } & \log _{ e } a _{9}^{ r } a _{10}^{ k }\end{array}\right|=0\) है। तब \(S\) में अवयवों की संख्या होगी