एक बिन्दु जिसका स्थिति सदिश \(-\hat{ i }+2 \hat{ j }+6 \hat{ k }\) है, की एक सरल रेखा, जो बिन्दु \((2,3,-4)\) से होकर जाती है तथा सदिश \(6 \hat{ i }+3 \hat{ j }-4 \hat{ k }\) के समान्तर है, से दूरी है

फलन \(f: R \rightarrow\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]\), जो \(f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}\) द्वारा परिभाषित है:

माना \(y=f(x)=\sin ^3\left(\frac{\pi}{3}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3 \sqrt{2}}\left(-4 x^3+5 x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right)\right)\) है। तो \(\mathrm{x}=1\) पर

माना \(\overrightarrow{ AB }=2 \hat{ i }+4 \hat{ j }-5 k\) और \(\overrightarrow{ AD }=\hat{ i }+2 \hat{ j }+\lambda k , \lambda \in R\)। माना सदिश \(\overrightarrow{ v }=\hat{ i }+\hat{ j }+\hat{ k }\) का समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण \(\overrightarrow{ AC }\) पर प्रक्षेप की लंबाई एक मात्रक है। यदि \(\alpha, \beta\), जहाँ \(\alpha>\beta\), समीकरण \(\lambda^2 x ^2- 6 \lambda x +5=0\) के मूल हैं, तब \(2 \alpha-\beta\) = ___ है।

माना \(p = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } {\left( {1 + {{\tan }^2}\sqrt x } \right)^{\frac{1}{{2x}}}}\) है, तो \(\log \, p\) बराबर है:

माना \(\mathrm{S}=\left\{\mathrm{m} \in \mathbf{Z}: \mathrm{A}^{\mathrm{m}^2}+\mathrm{A}^{\mathrm{m}}=3 \mathrm{I}-\mathrm{A}^{-6}\right\}\), जहाँ \(\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\). तब \(\mathrm{n}(\mathrm{S})\) = ___

यदि \([ x ]\) महत्तम पूर्णांक \(\leq x\) है, तो रैखिक समीकरण निकाय \([\sin \theta] x +[-\cos \theta] y =0\) \([\cot \theta] x + y =0\)

\(\operatorname{cosec}\left[2 \cot ^{-1}(5)+\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\right]\) बराबर है

परवलय \(\mathrm{y}=\mathrm{x}^2\) पर तीन बिंदु \(\mathrm{O}(0,0), \mathrm{P}\left(\mathrm{a}, \mathrm{a}^2\right)\), \(\mathrm{Q}\left(-\mathrm{b}, \mathrm{b}^2\right), \mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0\) है। माना रेखा \(\mathrm{PQ}\) तथा परवलय से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल \(S_1\) है तथा त्रिभुज \(\mathrm{OPQ}\) का क्षेत्रफल \(\mathrm{S}_2\) है। यदि \(\frac{\mathrm{S}_1}{\mathrm{~S}_2}\) का न्यूनतम मान \(\frac{m}{n}, \operatorname{gcd}(m, n)=1\) है, तो \(m+n\) = ...........

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

निम्न में से कौन सा बिंदु, दीर्घवृत्त \(\frac{ x ^{2}}{4}+\frac{ y ^{2}}{2}=1\) की किसी भी स्पर्श रेखा पर इसकी किसी एक नाभि से खींचे गए लंब के पाद के बिंदु पथ पर स्थित है ?

यदि \(\left[ {a \times b\;\;b \times c\;\;c \times a} \right] = \lambda \;{\left[ {a\;\;b\;\;c} \right]^2}\) है, तो \(\lambda\) बराबर है:

यदि अवकल समीकरण \(\left(1+\log _e \mathrm{x}\right) \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}-\mathrm{x} \log _{\mathrm{e}} \mathrm{x}=\mathrm{e}^{\mathrm{y}}, \mathrm{x}>0\), का हल वक्र \(\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0\) बिंदुओं \((1,0)\) तथा \((\alpha, 2)\) से होकर जाता है, तो \(\alpha^\alpha\) बराबर है