ऐसे वृत्तों, जो वृत्त \(x ^{2}+ y ^{2}=1\) को बाह्य स्पर्श करते हैं, \(y\)-अक्ष को भी स्पर्श करते हैं तथा प्रथम चतुर्थाश में स्थित है, के केंद्रों का बिन्दुपथ है

\((2,2 \sqrt{3})\) से होकर आती हुई प्रकाश की एक किरण रेखा \(x\) \(=1\) पर \(30^{\circ}\) के कोण पर बिन्दु \(A\) पर आपतित (incident) होती है तथा रेखा \(x=1\) से प्रावर्तित हो कर \(x\)-अक्ष को बिंदु \(B\) पर मिलती है, तो रेखा \(AB\) निम्न में से किस बिन्दु से होकर जाती है

यदि \(f ^{\prime} G \left(\frac{4}{3}\right)=0\), के साथ फलन \(f(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-4, x \in[1,2]\) के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है, तो क्रमित युग्म \(( a , b )\) बराबर है

माना एक समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम \(n\) पदों का योगफल \(S _{ n }\) है। यदि \(S _{3 n }=3 S _{2 n }\) है, तो \(\frac{ S _{4 n }}{ S _{2 n }}\) बराबर है

माना एक परवलय P का शीर्ष \((2,3)\) है तथा नियता \(2 x+y=6\) है। माना \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) उत्केन्द्रता का एक दीर्घवृत्त \(E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b\), परवलय \(P\) की नाभि से होकर जाता है। तो \(\mathrm{E}\) की नाभिलंब जीवा की लंबाई का वर्ग ........... है।

मान लीजिए \(\vec{a} = 4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}\), \(\vec{b} = 10\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\) और एक सदिश \(\vec{c}\) इस प्रकार है कि \(2(\vec{a}\times\vec{b}) + 3(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{0}\). यदि \(\vec{a}\cdot\vec{c} = 15\), तो \(\vec{c}\cdot(\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\) बराबर है:

तीन संख्याऐं एक वर्धमान गुणोत्तर श्रेढ़ी, जिसका सार्व अनुपात \(I\) हैं, में है। यदि बीच की संख्या को दुगुना कर दिया जाये, तो नयी संख्याऐं एक समान्तर श्रेढ़ी, जिसका सार्वअंतर \(d\) है, में हैं। यदि गुणोत्तर श्रेढ़ी का चौथा पद \(3 r^{2}\), है, तो \(r^{2}- d\) बराबर है

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

अवतल समीकरण \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\left(\frac{\mathrm{x}^2+3 \mathrm{y}^2}{3 \mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2}\right), \mathrm{y}(1)=0\) का हल है :

माना \(\alpha=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) और \(\beta=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\),\(i=\sqrt{-1}\) है। यदि \((7-7\alpha+9\beta)^{20}+(9+7\alpha-7\beta)^{20}+(-7+9\alpha+7\beta)^{20}+(14+7\alpha+7\beta)^{20}=m^{10}\) है, तब m ___ है।

माना \(A =\left\{\theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \pi\right): \frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}\right.\) मात्र काल्पनिक है \(\}\) तो \(A\) के अवयवों का योग है-

माना वृत्त \(C\), रेखा \(2 x-3 y+5=0\) में \(x^2+y^2-2 x+4 y-4=0\) का प्रतिबिंब है और \(A\), \(C\) पर एक ऐसा बिंदु है कि \(O A\), \(x\)-अक्ष के समांतर है और \(A\), \(C\) के केंद्र \(O\) के दाहिनी ओर स्थित है। यदि \(B(\alpha, \beta)\), जहाँ \(\beta \lt 4\), \(C\) पर इस प्रकार स्थित है कि चाप \(A B\) की लंबाई, \(C\) की परिधि का \((1 / 6)^{\text {th }}\) भाग है, तो \(\beta-\sqrt{3} \alpha\) = __________

माना बिंदु A, बिंदुओं \(P(-1,-1,2)\) और \(Q(5,5,10)\) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से \(\mathrm{r}: 1(\mathrm{r}\gt0)\) के अनुपात में विभाजित करता है। यदि O मूलबिंदु है और \((\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}})-\frac{1}{5}|\overrightarrow{\mathrm{OP}} \times \overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2=10\), तो r का मान ___ है।