माना बिंदु A, बिंदुओं \(P(-1,-1,2)\) और \(Q(5,5,10)\) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से \(\mathrm{r}: 1(\mathrm{r}\gt0)\) के अनुपात में विभाजित करता है। यदि O मूलबिंदु है और \((\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}})-\frac{1}{5}|\overrightarrow{\mathrm{OP}} \times \overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2=10\), तो r का मान ___ है।

\(5\) प्रेक्षणों का माध्य \(5\) है तथा उनका प्रसरण \(124\) है। यदि उनमें से तीन प्रेक्षण \(1,2\) तथा \(6\) हैं, तो इन आँकड़ों का माध्य से माध्य विचलन है

माना \(2 \times 1\) के दो आव्यूह \(A =\left[\begin{array}{l} a _{1} \\ a _{2}\end{array}\right]\) तथा \(B =\left[\begin{array}{l} b _{1} \\ b _{2}\end{array}\right]\) है जिनके अवयव वास्तविक हैं तथा \(A = XB\) है, जहाँ \(X =\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & k \end{array}\right]\) और \(k \in R\) है। यदि \(a _{1}^{2}+ a _{2}^{2}=\frac{2}{3}\left( b _{1}^{2}+ b _{2}^{2}\right)\) तथा \(\left( k ^{2}+1\right) b _{2}^{2} \neq-2 b _{1} b _{2}\) है, तो \(k\) का मान है है।

अवकल समीकरण \(\left( y ^{2}- x ^{3}\right) dx - xydy =0( x \neq 0)\) का व्यापक हल है (जहॉ \(c\) एक समाकलन अचर है)

\(\left|\begin{array}{lll}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3) & a+3 & 1 \\ (a+3)(a+4) & a+4 & 1\end{array}\right|\) का मान है

यदि \(\sum_{r=1}^{13}\left\{\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+(r-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{r \pi}{6}\right)}\right\}=a \sqrt{3}+b, a, b \in \mathbf{Z}\), तो \(a^2+b^2\) के __________ बराबर है :

एक वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी में धनात्मक पदों वाली, दूसरे और छठे पदों का योग \(\frac{70}{3}\) है तथा तीसरे और पांचवें पदों का गुणनफल \(49\) है। तो \(4^{\text {th }}, 6^{\text {th }}\) और \(8^{\text {th }}\) पदों का योग ........... है।

एक व्यक्ति के पास तीन अलग-अलग थैले और चार अलग-अलग किताबें हैं। तरीकों की संख्या, जिनमें वह इन किताबों को थैलों में रख सकता है ताकि कोई भी थैला खाली न रहे, है:

तीन घटनाओं \(A\), \(B\) तथा \(C\) के लिए \(P(A\) अथवा \(B\) में से केवल एक घटित हांती है \()\) \(=P(B\) अथवा \(C\) में से केवल एक घटित होती है \()\) \(=P(C\) अथवा \(A\) में से केबल एक घटित होती है \(=\frac{1}{4}\) तथा \(P\) (सभी तीन घटनाएँ एक साथ घटित होती है) \(=\frac{1}{16}\) है, तो प्रायिकता कि कम से कम एक घटना घटित हो, है:

दो सदिशों \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\lambda \hat{\mathrm{k}}, \lambda \gt 0\) पर विचार कीजिए। उनके बीच का कोण \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}\right)\) द्वारा दिया गया है। माना \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}_1+\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\), जहाँ \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\) सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) के समांतर है और \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\) सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) के लंबवत है। तो \(\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\right|^2\) का मान क्या है?

\(|z|\), जहाँ \(z\) एक सम्मिश्र संख्या है, का न्यूनतम मान, जो असमिका exp, \(\left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|| z|+1|} \log _{e} 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i|\) \(i =\sqrt{-1}\) को सन्तुष्ट करता है

समीकरण \(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=21\), जहाँ \(\mathrm{x} \geq 1, \mathrm{y} \geq 3, \mathrm{z} \geq 4\) हैं, के पूर्णांकीय हलों की संख्या है___________.

माना \(\theta=\frac{\pi}{5}\) तथा \(A =\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]\) । है यदि \(B = A + A ^{4}\), तो \(\operatorname{det}( B )\)