\(U\left( r \right) = \frac{1}{2}k{r^2}\) ના કેન્દ્રીય સ્થિતિમાન ક્ષેત્રમાં એક વર્તુળાકાર કક્ષામાં \(m\) દ્રવ્યમાન વાળો એક કણ ગતિ કરે છે.જો ક્વોન્ટાઇઝેશન શરતો લગાડવામાં આવે તો શક્ય કક્ષકો અને તેના ઊર્જાસ્તરો એ ક્વોન્ટમ ક્રમ (સંખ્યા) \( n\) સાથે ______ થી ચલે છે.

Force, \(F=-\frac{d U}{d r}=-k r\)

For circular motion  \(\frac{\mathrm{mv}^{2}}{\mathrm{r}}=\mathrm{kr}\) .... \((i)\)

And              \({ mvr }=\frac{n h}{2 \pi}\)                              .... \((ii)\)

\({ \Rightarrow {r^2} = \frac{{{\text{nh}}}}{{2\pi \sqrt {{\text{km}}} }}}\)

\({ \Rightarrow {\text{r}} \propto \sqrt {\text{n}} }\)

Total energy, \(E=k+U\)

                     \( = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}k{r^2}\)

                     \( = \frac{1}{2}k{r^2} + \frac{1}{2}k{r^2}\)     [From equation \((i)\)]

                    \(E = k{r^2}\)

  \( \Rightarrow \,\,E\, \propto \,\,n\)