\(\int {x\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)dx} \,\left( {x > 0} \right) \,\,= . . . .  \) 

ધારો કે \(f(x)\) એ \(x=a\) આગળ વિકલનીય વિધેય છે, જ્યાં \(f^{\prime}(a)=2\) અને \(f(a)=4\) છે. તો \(\lim _{x \rightarrow a} \frac{x f(a)-a f(x)}{x-a} = ..... .\)

તાપમાન \(\mathrm{T}(\mathrm{t})\) એ \(\mathrm{t}=0\) સમયે \(160^{\circ} \mathrm{F}\) છે. તાપમાન ઘટવાના દરનું વિકલ સમીકરણ \(\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{K}(\mathrm{T}-80)\), જ્યાં \(\mathrm{K}\) ઘન અચળાંક છે. જો \(\mathrm{T}(15)=120^{\circ} \mathrm{F}\), તો \(\mathrm{T}(45) =\) ...........

\(40\) વિદ્યાર્થીઓનો એક સમૂહ \(3\) વિષયો - ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ની પરીક્ષામાં ઉપસ્થિત થાય છે. એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે બધા જ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(20\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(25\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(16\) વિદ્યાર્થીઓ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(11\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બંનેમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માં ઉતીર્ણ થયા, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે. ત્રણેય વિષયમાં ઉતીર્ણ થનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.

વિકલ સમીકરણ \(\frac{{dy}}{{dx}} = \left( {x - {y}} \right)^2\) નો ઉકેલ \(y(1) = 1\) આગળ મેળવો.

સમીકરણ \((1+x)^{10}+x(1+x)^{9}+x^{2}(1+x)^{8}+\ldots+x^{10}\) માં \(x^{7}\) નો સહગુણક મેળવો.

ધારો કે \(R\) એ ، જો \(2 a+3 b\) એ \(5\) નો ગુણિત હોય, તો \(a R b, a, b \in N\) ' મુજબ વ્યાખ્યાયિત \(N\) પરનો સંબંધ છે. તો \(R\) એ

વહાણમાંથી મિસાઈલ છોડવામાં આવે છે, તેને અટકાવવામાં આવે તેની સંભાવના \(\frac{1}{3}\) છે અને તેને અટકાવવામાં આવતી નથી તેમ આપેલ હોય ત્યારે તે લક્ષ્ય સાથે તેની સંભાવના \(\frac{3}{4}\) છે. જે વહાણમાંથી નિરપેક્ષ રીતે ત્રણ મિસાઈલ છોડવામાં આવે, તો આ ત્રણેય લક્ષ્ય સાથે તેની સંભાવના ............ છે.

ધારો કે બે વાસ્તવિક વિધેયો \(f, g: R \rightarrow R\) એ \(f(x)=\left\{\begin{array}{cl}-|x+3| & , \quad x<0 \\ e^{x} & , \quad x \geq 0\end{array}\right.\) અને \(g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+k_{1} x & , \quad x<0 \\ 4 x+k_{2} & , \quad x \geq 0\end{array}\right.\),પ્રમાણે વ્યખાયિત છે,જ્યાં \(k_{1}\) અને \(k_{2}\) વાસ્તવિક અંચળાક છે.જો \((gof)\) એ \(x=0\), આગળ વિકલનીય હોય,તો \((gof)\) \((-4)+\) \((gof)\) \((4)=\dots\dots\dots\) 

\(I(x)=\int \frac{\sec ^{2} x-2022}{\sin ^{2022} x} d x\) માટે \(I\left(\frac{\pi}{4}\right)=2^{1011}\) હોય તો 

જો \(\alpha \) અને \(\beta \) સમીકરણ \(x^2 + px + \frac {3p}{4} = 0\) ના ઉકેલો હોય કે જેથી  \(\left| {\alpha  - \beta } \right| = \sqrt {10} ,\) તો \(p\) ની કિમત મેળવો.

જો  \(S = \{\lambda ,\mu \} \in R \times R:f\left( t \right) = \left( {\left| \lambda  \right|{e^{\left| t \right|}} - \mu } \right)\). \(\sin \left( {2\left| t \right|} \right),t \in R\) , એ વિકલનીય વિધેય છે \(\}\) . તો \(S\) એ કોનો ઉપગણ બને ?

ધારોકે \(\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) અને \(\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}, \lambda \in Z\) બે સદિશો છે. ધારોકે \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) તથા \(\overrightarrow{d}\) એ \(y z\)-સમતલમાં માન 2 વાળો એક સદિશ છે. જો \(|\overrightarrow{ c |}=\sqrt{53}\) હોય, તો \((\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ d })^2\) ની મહત્તમ શક્ય કિંમત ___ છે.