ઉપવલયો \(E_k: k x^2+k^2 y^2=1, k=1,2, \ldots, 20\) ધ્યાને લો. જેનું એક અંત્યબિંદુ પ્રધાન અક્ષ પર અને બીજું ગૌણ અક્ષ પર હોય તેવી, ઉપવલય \(E_k\) ની યાર જીવાઆને સ્પર્શતું વર્તુળ ધારો કે \(C_K\) છે.જો \(r_k\) એ વર્તુળ \(C_k\) ની ત્રિજ્યા હોય, તો \(\sum \limits_{k=1}^{20} \frac{1}{r_k^2}\) નું મૂલ્ય \(........\) છે.

જો \(A\) એ \(2 \times 2\) કક્ષાનો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે કે જેના બધા ઘટકો \(\{0,1\}\) માંથી હોય અને \(|\mathrm{A}| \neq 0 .\) નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો: \((P)\) જો \(A \neq I_{2},\) હોય તો \(|A|=-1\): \((Q)\) જો \(|\mathrm{A}|=1,\) હોય તો \(\operatorname{tr}(\mathrm{A})=2\) જ્યાં \(I_{2}\) એ \(2 \times 2\) નો એકમ શ્રેણિક અને \(\operatorname{tr}(A)\) એ શ્રેણિક \(A\) ના અગ્ર વિકર્ણના ઘટકોનો સરવાળો દર્શાવે તો 

52 પત્તાના ઢગમાંથી એક પત્તું ખોવાઈ જાય છે. બાકીના 51 પત્તામાંથી, \(n\) પત્તા ખેંચવામાં આવે છે અને તે કાળીના હોય તેવું માલુમ પડે છે. જો ખોવાયેલું પત્તું કાળીનું હોવાની સંભાવના \(\frac{11}{50}\) હોય, તો n = __________

સંખ્યા ને પેલિન્ડ્રોમ તો કહી શકાય કે જેને બંને બાજુથી વાંચતાં સમાન મળે જેમ કે ઉદાહરણ તરીકે \(285582\) એ છ અંકની પેલિન્ડ્રોમ સંખ્યા છે . તો છ અંક કેટલી પેલિન્ડ્રોમ સંખ્યા મળે કે જે \(55\) વડે વિભાજ્ય છે.

એક હરીફાઈમાં, કોઈ એક ટીમ પ્રત્યેક મેચ જીતવાની અને હારવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે \(\frac{1}{3}\) અને \(\frac{2}{3}\) સાથે \(10\) મેચ રમે છે. ધારો કે \(x\) એ ટીમ દ્વારા જીતવામાં આવેલ મેચની સંખ્યા છે, અને \(y\) એ ટીમ દ્વારા હારવામાં આવેલા મેચની સંખ્યા છે. જો સંભાવના \(\mathrm{P}(\mid x-\) \(y \mid \leq 2)\) એ \(\mathrm{p}\) હોય, તો \(3^9 \mathrm{p}=\) ...........

ધારો કે P એ સાત અંકોની સંખ્યાઓનો ગણ છે કે જેમાં તેમના અંકોનો સરવાળો 11 થાય છે. જો P માંની સંખ્યાઓ ફક્ત 1, 2 અને 3 અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનેલી હોય, તો ગણ \(P\) માંના ઘટકોની સંખ્યા છે :

ધારો કે   \(\mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R}\) \(\mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) અને  \(L_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{m} \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{n} \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) એ ત્રણ એવી રેખાઓ છે કે જેથી \(L_1\) એ \(L_2\) ને લંબ છે તથા \(L_3\) એ \(L_1\) અને \(L_2\) બંનેને લંબ છે. તો \(L_3\) પર આવેલ બિંદુ ........... છે.

ધારો ક \(P\) એ અતિવલય \(H: \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) પરનું પ્રથમ ચરણમાં આવેલું એવું બિંદુ છે કે જેથી \(P\) અને \(H\) ની બે નાભિઓથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ \(2 \sqrt{13}\) થાય. તો ઉગમબિંદુથી \(P\)ના અંતરનો વર્ગ ........... છે.

વડે વ્યાખ્યાયિત રેખાઓ \(L _1\) અને \(L _2\) ધ્યાને લો. \(L_1: \frac{ x -1}{2}=\frac{ y -3}{1}=\frac{ z -2}{2}\) \(L _2: \frac{ x -2}{1}=\frac{ y -2}{2}=\frac{ z -3}{3}\) \(1, -1, -2\) દિકગુણોત્તર વાળી રેખા \(L _3\) એ \(L _1\) અને \(L _2\) ને અનુક્રમે બિંદુઓ \(P\) અને \(Q\) માં છેદે છે. તો રેખાખંડ \(PQ\)ની લંબાઈ \(.........\) છે.

\((2021)^{2022}+(2022)^{2021}\) ને \(7\) વડે ભાગતાં મળતી શેષ .......... છે.

\( \sqrt 3 \) ત્રિજ્યાવાળા ગોલકને અંત્રગર્ત લંબવૃતિય નળાકારનું મહતમ ઘનફળ મેળવો.

જો \(\sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}\) આપેલ હોય તો  \(16(\sin (2 \theta)+\cos (4 \theta)+\sin (6 \theta))\) ની કિમંત મેળવો.

\(t \in R\) માટે જો \([.]\) એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોય તો \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } \,\frac{{\left( {1 - \left| x \right| + \sin \left| {1 + x} \right|} \right)\,\sin \,\left( {\frac{\pi }{2}\,\left[ {1 - x} \right]} \right)}}{{\left| {1 - x} \right|\left| {1 - x} \right|}}\) =