સમતલ \(P\) એ બે રેખા કે જેની દિક્કોસાઇન \(-2,1,-3\),અને  \(-1,2,-2\) હોય તેને સમાંતર છે અને તે બિંદુ \((2,2,-2)\) ને સમાવે છે. અહી \(P\) એ અક્ષોને \(A , B , C\) બિંદુમાં છેદે છે કે જેથી અંત:ખંડ \(\alpha, \beta, \gamma\) થાય. જો \(V\) એ ચતુષ્ફલક \(OABC\) નું ઘનફળ છે કે જ્યાં  \(O\) એ ઉગમબિંદુ છે અને \(p =\alpha+\beta+\gamma\) હોય તો ક્રમયુક્ત જોડ \(( V , p )\) ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે \(\mathrm{H}_1: \frac{x^2}{\mathrm{a}^2}-\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1\) અને \(\mathrm{H}_2:-\frac{x^2}{\mathrm{~A}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~B}^2}=1\) બે અતિવલય છે, જેના નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે \(15 \sqrt{2}\) અને \(12 \sqrt{5}\) છે. ધારો કે તેમની ઉત્કેન્દ્રતા અનુક્રમે \(e_1=\sqrt{\frac{5}{2}}\) અને \(e_2\) છે. જો તેમના અનુપ્રસ્થ અક્ષોની લંબાઈનો ગુણાકાર \(100 \sqrt{10}\) હોય, તો \(25 \mathrm{e}_2^2\) = __________

\(2 \sin ^2 \theta=\cos 2 \theta\) અને \(2 \cos ^2 \theta=3 \sin \theta\) ને સંતોષતા \(\theta \in[0,2 \pi]\) ના તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો છે?

જો \(24 \int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\sin \left|4 x-\frac{\pi}{12}\right|+[2 \sin x]\right) \mathrm{d} x=2 \pi+\alpha\), જ્યાં \([\cdot]\) એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે, તો \(\alpha\) = ___

જેના માટે રેખાઓ \(\frac{x+1}{\alpha}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-4}{-\alpha}\) તથા \(\frac{x}{\alpha}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2 \alpha}\) વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર \(\sqrt{2}\) હોય, તેવા \(\alpha\) ના તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો ___ છે.

જો  \(f(x)\) અને \(g(x)\) એ બે બહુપદી છે કે જેથી \(P ( x )=f\left( x ^{3}\right)+ xg \left( x ^{3}\right)\) એ  \(x^{2}+x+1\) દ્વારા વિભાજિત થાય છે તો \(P(1)\) ની કિમંત મેળવો.

અહી \(\mathrm{P}\) એ બિંદુ \((1,2,3)\) માંથી પસાર થતું અને સમતલો \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k})=16\) અને \(\vec{r} \cdot(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6\) ની છેદરેખામાંથી પસાર થતું સમતલ દર્શાવે છે. તો આપેલ પૈકી ક્યૂ બિંદુ \(\mathrm{P}\) પર આવેલ નથી ?

વર્તુળ \({x^2} + {y^2} - 8x - 8y - 4 = 0\) ને બહારથી સ્પર્શતા તથા \( x-\) અક્ષને પણ સ્પર્શતા હોય તેવા વર્તૂળોના કેન્દ્રો . . . . . પર આવેલ છે.

એક અતિવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઇ \(\sqrt{2}\) છે તથા અતિવલય અને ઉપવલય \(3 x^{2}+4 y^{2}=12\) બંનેની નાભી સરખી હોય તો નીચેનામાંથી ક્યાં બિંદુમાંથી અતિવલય પસાર ન થાય 

જો \(\alpha\) અને \(\beta(\alpha<\beta)\) એ સમીકરણ \((-2+\sqrt{3})(|\sqrt{x}-3|)+(x-6 \sqrt{x})+(9-2 \sqrt{3})=0, x \geqslant 0\) ના બીજ હોય, તો\(\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}+\sqrt{\alpha \beta}=\) ___ .

ધારો કે \(S _1\) અને \(S _2\) એવા દરેક \(a \in R\) - \{0\}ના ગણો દર્શાવે છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણ સંહતિ \(a x+2 a y-3 a z=1\) \((2 a+1) x+(2 a+3) y+(a+1) z=2\) \((3 a+5) x+(a+5) y+(a+2) z=3\) ને અનુક્રમે અનન્ય ઉકેલ તથા અસંખ્ય ઉકેલો હોય. તો

ધારો કે \(\vec{a}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\). જો \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) એવો સદિશ છે કે જેથી \(\vec{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\), \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \vec{a}|^2=8\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) તથા \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) વચ્ચેનો ખૂણો \(\frac{\pi}{4}\) છે, તો \(|10-3 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}|+|\overrightarrow{\mathrm{d}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2\) = ___

જો રેખા \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 4}}{3}\) એ સમતલ \(lx + my - z = 9\) માં આવેલી હોય ,તો \({l^2} + {m^2} = \;.\;.\;.\;.\;.\;\)