સદીશ \(\vec a\, = \,\hat i\, + \,2\hat j\, + 4\hat k\,,\,\vec b\, = \,\hat i\, + \,\lambda \hat j\, + 4\hat k\) અને \(\vec c\, = \,2\hat i\, + \,4\hat j\, + ({\lambda ^2} - 1)\hat k\) એ સમતલીય સદીશ હોય તો શૂન્યતર સદીશ \(\vec a\times \vec c\) મેળવો.

ધારો કે \(S =\{1,2,3,4,5,6\}\) અને \(P ( S )\) એ \(S\) નો ઘાતગણ દર્શાવે છે.તો જયારે \(n < m\) હોય ત્યારે \(f(n) \subset f(m)\) થાય તેવા એક-એક વિધેયો \(f: S \rightarrow P(S)\) ની સંખ્યા \(........\) છે.

ધારો કે   \(\mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R}\) \(\mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) અને  \(L_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{m} \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{n} \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) એ ત્રણ એવી રેખાઓ છે કે જેથી \(L_1\) એ \(L_2\) ને લંબ છે તથા \(L_3\) એ \(L_1\) અને \(L_2\) બંનેને લંબ છે. તો \(L_3\) પર આવેલ બિંદુ ........... છે.

ધારો કે રેખા \(45 x+5 y+3=0\) નો ઢાળ, કોઈ \(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\) માટે \(27 r_1+\frac{9 r_2}{2}\) છે. તો \(\lim _{x \rightarrow 3}\left(\int_3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} d t\right)=\) ...........

બિંદુ \(P(4,6,-2)\) નું બિંદુ \((-3,2,3)\) માંથી પસાર થતી તથા દિકગુણોત્તર \(3,3,-1\) વાળી રેખાને સમાંતર હોય તેવી રેખાથી અંતર \(...........\) છે.

અહી \(S_{n}\) એ સમાંતર શ્રેણીના \(n\)- નો સરવાળો દર્શાવે છે. જો \(S_{10}=530, S_{5}=140\) તો  \(\mathrm{S}_{20}-\mathrm{S}_{6}\) ની કિમંત મેળવો.

જો \(\vec{a}, \vec{b}\) અને \(\vec{c}\) એ ત્રણ સદીશો છે કે જેથી \(\vec{a}=\vec{b} \times(\vec{b} \times \vec{c}) \) થાય. જો સદીશોના મૂલ્યો \(\vec{a}, \vec{b}\) અને \(\vec{c}\) અનુક્રમે \(\sqrt{2}, 1\) અને \(2\) છે અને \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) વચ્ચેનો ખૂણો \(\theta\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)\), હોય તો  \(1+\tan \theta\) ની કિમંત મેળવો.

\(\Delta ABC\) માં , બાજુઓ \(AB, BC, CA\) પર અનુક્રમે \( 3, 4, 5\) બિંદુઓ આપેલ છે ( શિરોબિંદુઓ \(A, B, C\) ને સમાવતા ) . તો આ શિરોબિંદુઓને કરીને કેટલાં ત્રિકોણ બનાવી શકાય છે ?

એક ઇમારતમાં ભોંયતળિયું અને બીજા 10 માળ છે. નવ વ્યક્તિઓ ભોંયતળિયેથી લિફ્ટમાં પ્રવેશે છે. લિફ્ટ \(10^{\text{th}}\) માળ સુધી જાય છે. જો લિફ્ટ પહેલા અને બીજા માળે રોકાતી ન હોય, તો કોઈ પણ 4 વ્યક્તિઓ એક માળે ઉતરે અને બાકીની 5 વ્યક્તિઓ અલગ માળે ઉતરે તેવા પ્રકારની રીતોની સંખ્યા કેટલી થશે :

જો બિંદુ \((\beta , 0, \beta )\, (\beta  \neq 0)\) નું રેખા \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{0} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) થી લંબઅંતર \(\sqrt {\frac{3}{2}} \) હોય તો  \(\beta \) મેળવો.

એક સમબાજુતુષ્કોણની બે બાજુઓ રેખાઓ \(x - y + 1 = 0\) અને \(7x - y - 5 = 0\) પર છે. જો તેના વિકર્ણો બિંદુ \(\left( { - 1, - 2} \right)\) આગળ છેદે ,તો નીચેના માંથી કયું આ સમબાજુ ચતુષ્કોણનું એક શિરોબિંદુ છે?

જો \(a = lm\left( {\frac{{1 + {z^2}}}{{2iz}}} \right)\),જ્યાં \(z\) એ શૂન્યેતર સંકર સંખ્યા છે.તો \(A = \{ a:\left| z \right| = 1\,and\,z \ne  \pm 1\} \) નો ઉકેલગણ મેળવો. 

જો વ્યક્તિને કોઈ પણ પ્રયત્નમાં ટાર્ગેટને તાકી શકે તેની સંભાવના \(\frac{1}{3}\) હોય તો કેટલા ન્યૂનતમ સ્વતંત્ર પ્રયત્ન કરવા પડે કે જેથી ટાર્ગેટને ઓછામાં ઓછી એક વાર તાકી શકાય તેની સંભાવના \(\frac{5}{6}\) કરતાં વધુ થાય.