माना \(f(x)\) घात \(5\) का एक बहुपद है, और इसके चरम मान \(x = 1\) तथा \(x = -1\) पर हैं। यदि \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{f(x)}{x^3}\right) = -5\), तो \(f(2) - f(-2)\) बराबर है:

જો વિધેય \(f(x)= \begin{cases}\frac{72^x-9^x-8^x+1}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}, & x \neq 0 \\ a \log _e 2 \log _e 3, & x=0\end{cases}\) એ \(x=0\) આગળ સતત હોય. તો \(a^2\) નું મૂલ્ય ........... છે.

વિધેય \(f : (-1, 1) \to R\) એ \(f\left( x \right) = \left\{ { - \left| x \right|, - \sqrt {1 - {x^2}} } \right\}\) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે જો \(K\) એ \(f\) જે બિંદુઓએ વિકલનીય ન હોય તેવા બિંદુઓનો ગણ હોય તો ગણ  \(K\) ના ઘટકો ની સંખ્યા મેળવો.

ધારો કે  \(k\) એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે  અને વિધેય  \(f(x) = {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\left( {{e^x} - 1} \right)^2}}{{\sin {\mkern 1mu} \left( {\frac{x}{k}} \right){\mkern 1mu} \log {\mkern 1mu} \left( {1 + \frac{x}{4}} \right)}}{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} x \ne 0}\\
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 12{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }
\end{array}} \right.\)   એ સતત વિધેય હોય તો \(k\) ની કિમંત મેળવો.

જો \((20)^{19}+2(21)(20)^{18}+3(21)^2(20)^{17}+\ldots \ldots\). \(+20(21)^{19}= k (20)^{19}\),હોય તો  \(k\) ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે રેખા \(x=-1\) પ્રદેશ \(\{(x,y):1+x^{2}\le y\le3-x\}\) ના ક્ષેત્રફળને \(m:n\) ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે, જ્યાં \(\gcd(m,n)=1\) છે. તો \(m+n\) = ___ છે.

\(0 < \theta  < \frac{\pi }{2}\).જો અતિવલય \(\frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\,\theta }} - \frac{{{y^2}}}{{{{\sin }^2}\,\theta }} = 1\) ની ઉત્કેન્દ્રતા \(2\) કર્તા વધારે હોય તો નાભીલંબની મહતમ લંબાઈ ક્યાં અંતરાલમાં મળે,

અતિવલય \(4{x^2} - {y^2} = 36\) ને બિંદુ \(P\) અને \(Q\) આગળ સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. જો આ સ્પર્શકો બિંદુ \(T\left( {0,3} \right)\) આગળ છેદે તો  \(\Delta PTQ\) નું ક્ષેત્રફળ . . . . . .છે. .

સમતલ \(P\) એ બિંદુ \((3,7,-7)\) માંથી પસાર થાય છે અને રેખા \(\frac{x-2}{-3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{1} \) ને સમાવે છે. જો સમતલ \(P\) નું ઉગમબિંદુથી અંતર  \(d\) હોય તો  \(d^{2}\) ની કિમંત મેળવો.

ધારોકે \(Q ( a , b , c )\) એ બિંદુ \(P (3,2,1)\) નું રેખા \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}\) પરનું પ્રતિબિબ છે. તો Q નું રેખા \(\frac{x-9}{3}=\frac{y-9}{2}=\frac{z-5}{-2}\) થી અંતર ___ છે.

એક સુરેખા,\(x-\)અક્ષ અને \(y-\)અક્ષની ધન દિશાઓ પર અનુક્રમે અંત:ખંડો \(OA =a\) અને \(OB = b\) કાપે છે.જે ઉગમબિંદુ \(O\) માંથી આ રેખા પરનો લંબ એ \(y\) - અક્ષની ધન દિશા સાથે \(\frac{\pi}{6}\) ખૂણો બનાવે તથા \(\triangle OAB\) નું ક્ષેત્રફળ \(\frac{98}{3} \sqrt{3}\) હોય,તો \(a ^2- b ^2=.........\).

ધારોકે રેખાઓ \((2-i) z=(2+i) \bar{z} 24-t(2+i) z+(i-2) \bar{z}-4 i=0\) (અહીં \(i^{2}=-1\)) એ વર્તુળ \(C\) નાં અભિલંબ છે. જે રેખા \(i z+\bar{z}+1+i=0\) એ આ વર્તુળ \(C\) નો સ્પર્શક હોય, તો તેની ત્રિજ્યા ........... છે.

અહી \(\quad f(x)=\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|\), \(x \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]\) છે. જો  \(\alpha\) અને \( \beta\) અનુક્રમે વિધેય \(f\) ની મહતમ અને ન્યૂનતમ કિમંત છે તો  . . .