જો ઉપવલયની નાભીલંબના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો અભિલંબએ અનુબધ્ધ અક્ષની પરથી પસાર થતી હોય તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્ર્તા \(e\) માટે નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

\(40\) વિદ્યાર્થીઓનો એક સમૂહ \(3\) વિષયો - ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ની પરીક્ષામાં ઉપસ્થિત થાય છે. એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે બધા જ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(20\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(25\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(16\) વિદ્યાર્થીઓ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(11\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બંનેમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માં ઉતીર્ણ થયા, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે. ત્રણેય વિષયમાં ઉતીર્ણ થનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.

\(\int {\frac{{\sin \,\frac{{5x}}{2}}}{{\sin \,\frac{x}{2}}}} dx\) મેળવો.

સૌથી મોટો \( n\in N \) જેના માટે \(7^n\) એ 101! ને વિભાજિત કરે છે, તે ........... છે.

ધારો કે \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}\left(1+x y^2\left(1+\log _e x\right)\right), x > 0, y(1)=3\) નો ઉકેલ વક્ર છે. તો \(\frac{y^2(x)}{9}=................\).

નાભિ \((3,0)\) તથા નિયામિકા \(x=-3\) વાળા પરવલય પરના બિંદ્દુઓ \(P\) અને \(Q\) ની કોટિ \((ordinates)\) \(3: 1\) ગુણોત્તરમાં છે.જો \(R (\alpha, \beta)\) એ \(P\) અને \(Q\) પરના પરવલયના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ હોય, તો \(\frac{\beta^2}{\alpha}=.......\)

ધારો કે \(y=f(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{x y}{x^2-1}=\frac{x^6+4 x}{\sqrt{1-x^2}},-1 \lt x \lt 1\) નો ઉકેલ છે કે જેથી \(f(0)=0\). જો \(6 \int_{-1 / 2}^{1 / 2} f(x) \mathrm{d} x=2 \pi-\alpha\) હોય, તો \(\alpha^2\) = ___ છે.

\(3\) ના ગુણકવાળી ધન સંખ્યાઓને આપેલ ગણો માં વિભાજિત કરેલ છે :  \(\{3\},\{6,9,12\},\{15,18,21,24,27\}, \ldots\) તો ગણ  \(11^{\text {th }}\) ના બધાજ ઘટકોનો સરવાળો \(................\) થાય.

\(\left|\frac{120}{\pi^3} \int_0^\pi \frac{x^2 \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x\right|\) = ...........

જો દ્રીપદી વિતરણમાં મધ્યક અને વિચરણનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે  \(82.5\) અને \(1350\) હોય તો દ્રીપદી વિતરણમાં અવલોકનની સંખ્યા મેળવો.

જેના \(54\) સાથે ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ \(2\) થાય તેવા \(4-\)અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા \(..........\) છે.

પ્રદેશ \(R=\left\{(x, y): x \leq y \leq 9-\frac{11}{3} x^2, x \geq 0\right\}\) નો વિચાર કરો.
યામ અક્ષોને સમાંતર બાજુઓવાળા અને R માં અંતર્ગત સૌથી મોટા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

જો બહુપદી \({\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1}  - \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8} \)\(+ {\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1}  + \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8}\) ની ઘાત \(n\) અને  \(x^{12}\) નો સહગુણક \(m\) હોય  તો \((n, m)\)  = .................