જો \(f : R \to R\) એ વિધેય આપેલ છે કે જેથી  દરેક  \(x \in  R\) માટે \(f(2 - x)\, = f(2 + x)\) અને \(f(4 -x)\, = f(4 + x)\) અને \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)\,dx = 5} \) તો \(\int\limits_{10}^{50} {f\left( x \right)\,\,dx} \) મેળવો.

ધારોકે \(A\) અને \(B\) એ એવાં \(3 \times 3\) શ્રેણિકી છે કે જેથી \(A B=I\) અને \(|A|=\frac{1}{8}\) થાય. તો \(|\operatorname{adj}(B \operatorname{adj}(2 A))|=\)

જો સદીશો \(\vec{a}, \vec{b}\) અને  \(\vec{c}\) એ એકમ સદીશો છે કે જેથી \(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{0} .\) જો \(\lambda=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}} \) અને  \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}},\) તો \((\lambda, {\mathrm{\vec d}})\) ની ક્રમયુક્ત જોડ મેળવો.

રેખા \(y = \sin \,x\,\sin \,\left( {x + 2} \right) - {\sin ^2}\,\left( {x + 1} \right)\) એ ક્યાં ચરણમાં આવેલ છે ?

ધારો કે \(\triangle A B C\) માં, બાજુ \(A C\) ની લંબાઈ 6 છે, શિરોબિંદુ \(B\) એ \((1,2,3)\) છે અને શિરોબિંદુઓ \(A, C\) રેખા \(\frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2}\) પર આવેલા છે. તો \(\triangle \mathrm{ABC}\) નું ક્ષેત્રફળ (ચો. એકમોમાં) ___ છે.

જો \(\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 10} \right)}^2}}} = A\left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{x - 1}}{3}} \right) + \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} - 2x + 10}}} \right)}  + C\)  તો . . . .   (કે જ્યાં  \(C\) સંકલનનો અચળાંક  છે)

ધારો કે \(H _{ n }: \frac{x^2}{1+n}-\frac{y^2}{3+n}=1, n \in N\) છે.ધારો કે \(k\) એ \(n\) ની એવી લઘુતમ યુગ્મ કિંમત છે કે જેથી \(H _{ k }\) ની ઉત્કેન્દ્રતા સંમેય સંખ્યા થાય.જો \(H _{ k }\) ના નાભિલંબની લંબાઈ \(l\) હોય, તો \(21\,l =........\)

કેન્દ્ર \((2,3)\) અને ત્રિજ્યા \(4\) વાળું વર્તુળ રેખા \(x+y=3\) ને બિંદુઓ \(P\) અને \(Q\) માં છેદે છે. જો \(P\) અને \(Q\) પાસેના સ્પર્શકો બિંદુ \(S(\alpha, \beta)\) માં છેદે, તો \(4 \alpha-7 \beta=....................\)

જો \(S\left( \alpha  \right) = \left\{ {\left( {x,y} \right):{y^2} \leq x,0 \leq \alpha } \right\}\) અને  \(A(\alpha )\) એ  \(S(\alpha )\) ના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે . જો \(\lambda\) માટે \(0 < \lambda  < 4,A (\lambda ) : A\left( 4 \right)\,=\,2:5\) હોય તો  \(\lambda \) મેળવો.

\(|1\) - \(\left.\mathrm{i}\right|^x=2^x\) ના ઉકેલોની સંખ્યા \(\alpha\) અને \(\beta=\left(\frac{|z|}{\arg (\mathrm{z})}\right)\), જ્યાં \(\mathrm{z}=\frac{\pi}{4}(1+\mathrm{i})^4\left(\frac{1-\sqrt{\pi} \mathrm{i}}{\sqrt{\pi}+\mathrm{i}}+\frac{\sqrt{\pi}-\mathrm{i}}{1+\sqrt{\pi} \mathrm{i}}\right), \mathrm{i}=\sqrt{-1}\) તો \((\alpha, \beta)\) નું \(4 x-3 y=7\) થી અંતર મેળવો.

\(f(x)=\frac{\log _{(x+1)}(x-2)}{e^{2 \log _e x}-(2 x+3)}, x \in R\) નો પ્રદેશ \(...........\) છે.

અહી ' \(a\) ' એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી વિધેય \(f(x)=a x^{2}+6 x-15, x \in R\) એ અંતરાલ \(\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)\) માં વધતું વિધેય છે અને \(\left(\frac{3}{4}, \infty\right) \) પર ઘટતું વિધેય છે તો વિધેય  \(g(x)=a x^{2}-6 x+15, x \in R\) એ . . .  .. 

રેખીય સમીકરણની સિસ્ટમ \(x + y + z = 2, 2x + 3y + 2z = 5\), \(2x + 3y + (a^2 -1)\,z = a + 1\) તો