જો દરેક \(x \in \mathbb{R}\) માટે \(f(x)=\left|\begin{array}{ccc}x^3 & 2 x^2+1 & 1+3 x \\ 3 x^2+2 & 2 x & x^3+6 \\ x^3-x & 4 & x^2-2\end{array}\right|\) હોય તો \(2 f(0)+f^{\prime}(0)\) ની કિંમત મેળવો.

જો \(3 \leq r \leq 30\) માટે, \(\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r} = \binom{m}{r}\), તો \(m\) બરાબર છે:

પ્રત્યેક \(a, b \in R\) માટે \(a R_1 b \Leftrightarrow a^2+b^2=1\) અને પ્રત્યેક \((a, b),(c, d) \in N \times N\) માટે \((a, b) R_2(c, d) \Leftrightarrow a+d=b+c\) વડે વ્યાખ્યાયિત સંબંધો \(R_1\) અને \(R_2\) ધ્યાને લો. તો ...........

\(x \in[-1,1]\) માટે સમીકરણ \(\sin ^{-1}\left[x^{2}+\frac{1}{3}\right]+\cos ^{-1}\left[x^{2}-\frac{2}{3}\right]=x^{2}\) ના ઉકેલની સંખ્યા મેળવો કે જ્યાં  \([x]\) એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે .

\(\int \limits_{6}^{16} \frac{\log _{\mathrm{e}} x^{2}}{\log _{e} x^{2}+\log _{e}\left(x^{2}-44 x+484\right)} d x\) ની કિમંત મેળવો.

ધારોકે 8 સંખ્યાઓ -10, -7, −1, x, y, 9, 2, 16 ના મધ્યક તથા વિચરણ અનુક્રમે \(\frac{7}{2}\) અને \(\frac{293}{4}\) છે. તો 4 સંખ્યાઓ \(x, y, x+y+1,|x-y|\) નું મધ્યક ___ છે.

જો \([.]\) એ ગુરુતમ મહતમ પૂર્ણાક વિધેય હોય તો સમિકરણ \([ x ]^{2}+2[ x +2]-7=0\) ના

ધારો કે રેખા \(x - y = 4\) વર્તુળ \(C: (x-4)^2 + (y+3)^2 = 9\) ને બિંદુઓ \(Q\) અને \(R\) માં છેદે છે. જો \(C\) પર બિંદુ \(P(\alpha, \beta)\) એવું હોય કે \(PQ = PR\), તો \((6\alpha + 8\beta)^2\) બરાબર __________ છે.

જો \(f\left( x \right) = \frac{{2 - x\,\cos \,x}}{{2 + x\,\cos \,x}}\) અને  \(g\left( x \right) = {\log _e}\,x\), \(\left( {x > 0} \right)\) તો  \(\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{4}}^{\frac{\pi }{4}} {g\left( {f\left( x \right)} \right)} dx\) મેળવો.

ધારો કે દરેક \(x \in(0,3)\) માટે \(g(x)=3 f\left(\frac{x}{3}\right)+f(3-x)\) અને \(f^{\prime \prime}(x)>0\). ને \((0, \alpha)\) માં \(g\) ઘટતું હોય અને \((\alpha, 3)\) માં વધતું હોય, તો \(8 \alpha =\) ...........

અંતરાલ \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)\) માં \(x\) ની એવી કેટલી કિંમતો મળે કે જેથી  \(14 \operatorname{cosec}^{2} x-2 \sin ^{2} x=21-4 \cos ^{2} x\) થાય?

વક્રો \(x^2 + y^2 = 4\) અને \(y^2 =3x\) દ્વારા  આવૃત પ્રદેશ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો .

ધારો કે M એ \(3 \times 3\) કક્ષાના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ દર્શાવે છે અને ધારો કે \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\). ધારો કે
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) અને \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
જો \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), તો \(\alpha\) = ___