જો બધા ધન પૂર્ણાંક  \(r> 1, n > 2\) માટે \(( 1 + x)^{2n}\)  ના વિસ્તરણમાં \(x\) ની ઘાત \((3r)\) અને  \((r + 2)\) ના સહગુણક સરખા હોય તો \(n\) ની કિમત મેળવો. 

અહી વિધેય \(f: R \rightarrow R\)  \(f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin (a+1) x+\sin 2 x}{2 x} & , \text { if } x<0 \\ b & , \text { if } x=0 \\ \frac{\sqrt{x+b x^{3}}-\sqrt{x}}{b x^{5 / 2}} & , \text { if } x>0\end{array}\right.\) દ્વારા આપેલ છે. જો  \(f\) એ \(x=0\) આગળ સતત હોય તો \(a + b\) ની કિમંત મેળવો.

माना \(f(x)\) घात \(5\) का एक बहुपद है, और इसके चरम मान \(x = 1\) तथा \(x = -1\) पर हैं। यदि \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{f(x)}{x^3}\right) = -5\), तो \(f(2) - f(-2)\) बराबर है:

જો \(f(x)\) સતત વિધેય હોય અને  દરેક  \(t\, \ge  - \pi \) માટે  \(\int\limits_{ - \pi }^t {(f(x) + x\,\,dx)}  = {\pi ^2} - {t^2},\)  તો  \(f\left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\) મેળવો.

જો વિધેય \( f(x)=\log_{(10x^{2}-17x+7)}(18x^{2}-11x+1) \) નો પ્રદેશ \( (-\infty,a)\cup(b,c)\cup(d,\infty)-\{e\} \) હોય, તો \( 90(a+b+c+d+e) \) = ___ છે.

વિધેય \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{[x]^2-3[x]-10}}\) નો પ્રદેશ \(...........\) છે. (જ્યાં [x] એ \(\leq x\) અથવા તેનાથી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાક દર્શાવે છે.)

ધારો કે M એ \(3 \times 3\) કક્ષાના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ દર્શાવે છે અને ધારો કે \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\). ધારો કે
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) અને \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
જો \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), તો \(\alpha\) = ___

જો \([\mathrm{x}]\) એ \(\mathrm{x}\) નું મહતમ પૃણાંક વિધેય છે તો  \(\sum_{\mathrm{n}=8}^{100}\left[\frac{(-1)^{n} \mathrm{n}}{2}\right]\) ની કિમંત મેળવો.

જો \(a, b, c\) એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને જો સમીકરણો \((a - 1 )x = y + z,\)  \((b - 1 )y = z + x ,\) \((c - 1 )z= x + y,\) ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય તો \(ab + bc + ca\) ની કિમત મેળવો.

જો કોઇક ટાવરના તળિયા તરફ જઇ રહેલી કોઇ એક રેખા પરના ત્રણ સમરેખ બિંદુઓ \(A,B \) અને \(C\) ના ટાવરની ટોચ સાથેના ઉત્સેધકોણના માપ અનુક્રમે \(30^o ,45^o ,\) અને \(60^o \) હોય, તો ગુણોતર \(AB:BC\) =_______હોય.

બિંદુ \((-1,2,-2)\) નું સમતલ \(2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+2 \mathrm{z}=0\) અને \(x-2 y+z=0\) ની છેદરેખાથી અંતર મેળવો.

જો વિધેય \(f(x)=\log _7\left(1-\log _4\left(x^2-9 x+18\right)\right)\) નો પ્રદેશ \((\alpha, \beta) \cup(\gamma, \delta)\) હોય, તો \(\alpha+\beta+\gamma+\delta\) = __________

અંકો 0, \(1,2,3,4,5,6,7\) નો ઉપયોગ કરીને, 50000 થી મોટી હોય તેવી 5 અંકની ભિન્ન સંખ્યાઓની સંખ્યા, કે જેમાં તેમના પ્રથમ અને છેલ્લા અંકોનો સરવાળો 8 થી વધુ ન હોય, તે __________ છે: