જો \('R'\) એ \('a'\) ની ન્યૂનતમ  કિમંત છે કે જેથી વિધેય \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}+1\) એ  \([1,2]\) પર વધતું વિધેય થાય અને  \('S'\) એ \('a'\) ની મહતમ કિમંત છે કે જેથી વિધેય \(f(x)=x^{2}+a x+1\) એ  \([1,2]\) અંતરાલ પર ઘટતું વિધેય થાય છે તો \(|\mathrm{R}-\mathrm{S}|\) ની  કિમંત મેળવો.

ધારોક \(k \in R\) માટે સમીકરણ \(\cos \left(\sin ^{-1}\left(x \cot \left(\tan ^{-1}\left(\cos \left(\sin ^{-1} x\right)\right)\right)\right)\right)=k, 0<|x|<\frac{1}{\sqrt{2}}\) નાં બીજ \(\alpha\) અને \(\beta\) છે, જ્યાં ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો ફક્ત મુખ્ય કિંમતો જ ધારણ કરે છે. જો સમીકરણ \(x^{2}-b x-5=0\) નાં બીજ \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}\) અન \(\frac{\alpha}{\beta}\) હોય, તો \(\frac{b}{k^{2}}=\) .............

ધારોકે વિધેય \(f: N \rightarrow N\) એ \(f ( n )=\left[\begin{array}{ll}2 n , \,\,\, \,\,\,\,\,\,n =2,4,6,8, \ldots . \\ n -1,\,\,\,  n =3,7,11,15, \ldots . \\ \frac{ n +1}{2}, \,\,\, \,\,\,n =1,5,9,13, \ldots \ldots\end{array}\right.\) મુજબ વ્યાખ્યાયિત

\(\lambda \) ની એવી શકય કિમતોનો ગણ મેળવો કે જેથી વર્તુળ \(x^2 + y^2 - 4x - 4y+ 6\, = 0\) અને \(x^2 + y^2 - 10x - 10y + \lambda \, = 0\) ને બરાબર બે સામાન્ય સ્પર્શકો હોય 

ધારો કે \(f: \mathbf{R}-\{0\} \rightarrow(-\infty, 1)\) એ 2 ઘાતવાળી બહુપદી છે, જે \(f(x) f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\) ને સંતોષે છે. જો \(f(K)=-2 K\) હોય, તો \(K\) ના તમામ શક્ય મૂલ્યોના વર્ગોનો સરવાળો છે :

sin \(2 \theta+\tan 2 \theta>0\) થાય તેવી છે \(\theta \in[0,2 \pi]\) ની શક્ય તમામ કિંમતો ........... માં આપેલ છે.

ધારોકે \(\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}\) અને \(\vec{b}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+2 \hat{k} \cdot\) જો \(((\vec{a} \times \vec{b}) \times \hat{i}) \cdot \hat{k}=\frac{23}{2}\) હોય, તો \(|\vec{b} \times 2 \hat{j}|=\) ..........

કર્ણ \(h\) હોય તેવા કાટકોણ ત્રિકોણનું મહતમ ક્ષેત્રફળ મેળવો.

વિધેય \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{[x]^2-3[x]-10}}\) નો પ્રદેશ \(...........\) છે. (જ્યાં [x] એ \(\leq x\) અથવા તેનાથી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાક દર્શાવે છે.)

દ્વિવિકલનીય વિધેય \(f(x)=\int \limits_{0}^{x} e ^{x- t } f^{\prime}( t ) dt -\left(x^{2}-x+1\right) e ^{x}, x \in R\), ની ન્યૂનતમ કિંમત ................છે.

MATHS શબ્દના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા 6-અક્ષરના, સાર્થક કે નિરર્થક શબ્દોની સંખ્યા, જેમાં શબ્દમાં દેખાતો કોઈપણ અક્ષર ઓછામાં ઓછો બે વાર આવવો જોઈએ, તે _______ છે.

જો \(\alpha ,\beta \ne 0\) અને \(f\left( n \right) = {\alpha ^n} + {\beta ^n}\) તથા \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{1 + f\left( 1 \right)}&{1 + f\left( 2 \right)}\\{1 + f\left( 1 \right)}&{1 + f\left( 2 \right)}&{1 + f\left( 3 \right)}\\{1 + f\left( 2 \right)}&{1 + f\left( 3 \right)}&{1 + f\left( 4 \right)}\end{array}} \right|\; = K{\left( {1 - \alpha } \right)^2}\) \({\left( {1 - \beta } \right)^2}{\left( {\alpha - \beta } \right)^2}\) ,તો \(K=\) . . . . . .

એક ઉસ્ચતર માધ્યમિક શાળાના \(220\) વિદ્યાર્થીઓના સર્વેક્ષણમાં, એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે ઓછામાં ઓછા \(125\) તથા વધુમા વધુ \(130\) વિદ્યાર્થી ગણિત શાસ્ત્ર ભણે છે; ઓછામાં ઓછા \(85\) અને વધુમા વધુ \(95\) ભૌતિકશાસ્ત્ર ભણે છે; ઓછામાં ઓછા \(75\) અને વધુમા વધુ \(90\) ૨સાયણશાસ્ત્ર ભણે છે; \(30\) બન્ને ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ભણે છે; \(50\) બન્ને રસાયણશાસ્ત્ર અને ગણિતશાસ્ર ભણે છે; \(40\) બન્ને ગણિતશાસ્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્ર ભણે છે તથા \(10\) આ પૈકીના કોઈ પણ વિષયો ભણતા નથી. ધારોકે \(\mathrm{m}\) અને \(\mathrm{n}\) અનુક્રમે આ ત્રણે વિષયો ભણતા વિદ્યાર્થીઓની ઓછામાં ઓછી તથા વધુમાં વધુ સંખ્યા છે. તો \(\mathrm{m}+\mathrm{n}=\) ...........