ધારોકે \(H: \frac{-x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) અતિવલય છે, જેની ઉત્કેન્દ્રતા \(\sqrt{3}\) અને નાભીલંબની લંબાઈ \(4 \sqrt{3}\) છે. ધારોકે \((\alpha, 6), \alpha>0\) એ \(H\) પર છે. જો બિંદુ ( \(\alpha, 6)\) ના નાભ્યાંતરોનો ગુણાકાર \(\beta\) હોય, તો \(\alpha^2+\beta=\) ............

ધારો કે  \(k\) એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે  અને વિધેય  \(f(x) = {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\left( {{e^x} - 1} \right)^2}}{{\sin {\mkern 1mu} \left( {\frac{x}{k}} \right){\mkern 1mu} \log {\mkern 1mu} \left( {1 + \frac{x}{4}} \right)}}{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} x \ne 0}\\
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 12{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }
\end{array}} \right.\)   એ સતત વિધેય હોય તો \(k\) ની કિમંત મેળવો.

\(\int \limits_{-1}^{1} \log _{ e }(\sqrt{1- x }+\sqrt{1+ x }) dx\) ની કિમંત મેળવો.

ત્રિકોણ \(ABC\) માં, જો \(\cos A+2 \cos B+\cos C=2\) હોય તથા ખૂણાઓ \(A\) અને \(C\) ની સામેની બાજુઓની લંબાઈ અનુક્રમે \(3\) અને \(7\) હોય, તો \(\cos A -\cos C =..........\)

લંબગોળ \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) ની જીવાની સમીકરણ, જેનું મધ્યબિંદુ \((3,1)\) છે, તે __________ છે.

જો \(\left(\alpha x^3+\frac{1}{\beta x}\right)^{11}\) માં \(x^9\) નો સહગુણક અને \(\left(\alpha x-\frac{1}{\beta x^3}\right)^{11}\) માં \(x^{-9}\) નો સહગુણક સરખા હોય,તો \((\alpha \beta)^2=........\)

જો \(\mathrm{y}=\mathrm{y}(\mathrm{x})\) એ \(\mathrm{x}\) નું વિધેય છે કે જે \(y \sqrt{1-x^{2}}=k-x \sqrt{1-y^{2}}\) નું પાલન કરે છે કે જ્યાં \(k\) એ અચળ છે અને \(y\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4} \) તો \(\frac{d y}{d x}\) ની \(x=\frac{1}{2}\) આગળ કિમંત મેળવો.

ધારોકે \(a,b,c\) એ એવી ત્રણ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી \((2 a)^{\log _e a}=(b c)^{\log _e b}\) અને \(b^{\log _e 2}=a^{\log _e c}\) તો \(6 a+5 b c=..........\)

\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\tan \left(5(x)^{\frac{1}{3}}\right) \log _e\left(1+3 x^2\right)}{\left(\tan ^{-1} 3 \sqrt{x}\right)^2\left(e^{5(x)^{\frac{4}{3}}}-1\right)}\) = __________

જો બિંદુુઓ \((5,2)\) અને \((2, a)\) ને જોડતી રેખા ખંડ ઊગમબિંદુ આગળ \(\frac{\pi}{4}\) ખૂણો આંતરે, તો \(a\) ની તમામ શક્ય કિંમતોના ગુણાકારનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ............ છે.

શ્રેણી \(1 + \dfrac{1}{2}(1^2 + 2^2) + \dfrac{1}{3}(1^2 + 2^2 + 3^2) + \ldots\) ના 10 પદ સુધીનો સરવાળો બરાબર છે :

સમીકરણ સંહતિ  \(x+2 y-3 z=a\) ; \(2 x+6 y-11 z=b\) ; \(x-2 y+7 z=c\) આપેલ છે,   જ્યાં \(a, b\) અને \(c\) વાસ્તવિક અચળાંકો છે. તો સમીકરણ સંહતિને :

રેખા \( \alpha x+4y=\sqrt{7} \), જ્યાં \( \alpha\in R \), ઉપવલય \( 3x^{2}+4y^{2}=1 \) ને પ્રથમ ચરણમાં આવેલા બિંદુ P પર સ્પર્શે છે, તો P નું એક નાભિ અંતર ........... છે.