ધારોકે \(A =\left(\begin{array}{cc} m & n \\ p & q \end{array}\right), d =| A | \neq 0\) અને \(| A - d (\operatorname{Adj} A )|=0\) છે. તો

સમાંતર શ્રેણી \(a_1, a_2, a_3, ……\) ના પ્રથમ \(n\) પદોનો સરવાળો \(50\,n\, + \,\frac{{n\,(n\, - 7)}}{2}A\) છે.    જ્યાં \(A\) અચળ છે જો \(d\) સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત હોય તો \((d,a_{50})\) ની કિમત મેળવો. 

ધારો કે \(\mathrm{a} \gt 0\). જો વિધેય \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=6 \mathrm{x}^3-45 \mathrm{a} \mathrm{x}^2+108 \mathrm{a}^2 \mathrm{x}+1\) તેના સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો અનુક્રમે બિંદુઓ \(x_1\) અને \(x_2\) આગળ પ્રાપ્ત કરે છે જેથી \(x_1 x_2=54\), તો \(\mathrm{a}+\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2\) = ___

અહી \(S\) એ \(\lambda\) ની બધીજ વાસ્તવિક કિમંતોનો ગણ છે કે જેથી સમીકરણો  \(\lambda x + y + z =1\) ; \(x +\lambda y + z =1\) ; \(x + y +\lambda z =1\) સુસંગત નથી તો \(\sum_{\lambda \in S}\left(|\lambda|^2+|\lambda|\right)\) ની કિમંત મેળવો.

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ :
\(\begin{aligned}
& x+y+2 z=6 \\
& 2 x+3 y+\mathrm{a} z=\mathrm{a}+1 \\
& -x-3 y+\mathrm{b} z=2 \mathrm{~b}
\end{aligned}\)
જ્યાં \(a, b \in \mathbf{R}\), ને અનંત ઉકેલો હોય, તો \(7 a+3 b\) = ___

ધારો કે \(f(x)=a x^3+b x^2+c x+41\) એવું છે કે જેથી \(f(1)=40, f^{\prime}(1)=2\) અને \(f^{\prime \prime}(1)=4\) થાય. તો \(a^2+b^2+c^2=\) ...............

\(\left(\sqrt[3]{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^n\) ના વિસ્તરણમાં, જ્યાં \(\mathrm{n} \in \mathrm{N}\), જો શરૂઆતથી \(15^{\text {at }}\) પદ અને અંતથી \(15^{\text {th }}\) પદનો ગુણોત્તર \(\frac{1}{6}\) હોય, તો \({ }^n C_3\) નું મૂલ્ય છે:

જો \(f:(0,2) \rightarrow R\) એ \(f( x )=\log _{2}\left(1+\tan \left(\frac{\pi x }{4}\right)\right)\) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય તો \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2}{n}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\ldots+f(1)\right)\) મેળવો.

sine અને cosine વિધેયોનાં આલેખો એક બીજાને સંખ્યાબંધ બિંદુઓએ છેદે છે, અને બે ક્રમિક છેદબિંદુઓ વચ્ચે બે આલેખો સમાન ક્ષેત્રફળ \(A\) આંતરે છે, તો \(A^4 =.........\)

\(2 \sin \left(12^{\circ}\right)-\sin \left(72^{\circ}\right)\) નું મુલ્ય ............ છે.

જો એક સમતલ બિંદુઓ \((1,2,1),(2,1,2)\) માંથી પસાર થાય અને રેખા \(2 x=3 y, z=1\) ને સમાંતર હોય તો તે સમતલ નીચેનામાંથી ........ બિંદુ માંથી પણ પસાર થશે 

વિધાન \(-1\) : સમીકરણો  \(x + \left( {\sin \,\alpha } \right)y + \left( {\cos \,\alpha } \right)z = 0\) ;\(x + \left( {\cos \,\alpha } \right)y + \left( {\sin \alpha } \right)z = 0\) ;\(x - \left( {\sin \,\alpha } \right)y - \left( {\cos \alpha } \right)z = 0\) ; ને શૂન્યતર ઉકેલ એ \(\alpha \) ની માત્ર એકજ કિમત કે જે અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) તેના માટે ધરાવે છે . વિધાન \(-2\) : સમીકરણ કે જે \(\alpha \) સ્વરૂપ માં છે \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \sin {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \cos {\mkern 1mu} \alpha } 
\end{array}} \right| = 0\) નું એક માત્ર બીજ અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) માં છે .

જો \(f(x) = \int_0^x {t(\sin \,\,x\, - \sin \,\,t)\,dt} \) તો ?