ધારો કે \(\mathrm{S}=\left\{x \in R:(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x=10\right\}\). તો \(\mathrm{S}\) માં ઘટકોની સંખ્યા ........... છે.

ધારો કે સમાંતર ફલક કે જેની પાસપાસેની બાજુઓ\(\overrightarrow{\mathrm{u}}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\lambda \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}} \) અને  \(\overrightarrow{\mathrm{w}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) હોય તેનું ઘનફળ \(1\) ક્યુબ એક્મ હોય અને જો \(\theta\) એ બાજુઓ \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{w}}\) વચ્ચેનો ખૂણો હોય તો \(\cos \theta\) મેળવો.

બિંદુ \(\mathrm{P}(-2 \sqrt{6}, \sqrt{3})\) એ અતિવલય \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) કે જેની ઉત્કેન્દ્રિતા \(\frac{\sqrt{5}}{2} \) છે તેના પર આવેલ છે. જો બિંદુ \(\mathrm{P}\) આગળનો અતિવલયનો સ્પર્શક અને અભિલંભએ અનુબદ્ધ અક્ષને અનુક્રમે બિંદુ \(\mathrm{Q}\) અને \(\mathrm{R}\) આગળ છેદે છે તો  \(QR\) ની કિમંત મેળવો.

જો \([.]\) એ ગુરુતમ મહતમ પૂર્ણાક વિધેય હોય તો સમિકરણ \([ x ]^{2}+2[ x +2]-7=0\) ના

ધારો કે \(P(3\cos\alpha, 2\sin\alpha)\), \(\alpha \neq 0\), એ ઉપવલય \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) પરનું બિંદુ છે, \(Q\) એ વર્તુળ \(x^2+y^2-14x-14y+82=0\) પરનું બિંદુ છે અને \(R\) એ રેખા \(x+y=5\) પરનું બિંદુ છે, જેથી ત્રિકોણ \(PQR\) નું મધ્યકેન્દ્ર \(\left(2+\cos\alpha, 3+\dfrac{2}{3}\sin\alpha\right)\) છે. તો બધા શક્ય બિંદુઓ \(R\) ની કોટીઓનો સરવાળો છે:

ધારો કે \(f(x) = \lim_{y \to 0} \dfrac{(1 - \cos(xy)) \tan(xy)}{y^3}\). તો સમીકરણ \(f(x) = \sin x\), \(x \in \mathbf{R}\) ના ઉકેલોની સંખ્યા છે :

ધારો કે \({I_n} = \smallint {\tan ^n}xdx,\left( {n > 1} \right).\) જો \({I_4} + {I_6} = a{\tan ^5}x + b{x^5} + C\), જયાં \(C\) સંકલનનો અચળાંક છે. તો ક્રમયુકત જોડ \(\left( {a,b} \right)\) બરાબર . . . છે.

\(40\) વિદ્યાર્થીઓનો એક સમૂહ \(3\) વિષયો - ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ની પરીક્ષામાં ઉપસ્થિત થાય છે. એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે બધા જ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(20\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(25\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(16\) વિદ્યાર્થીઓ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(11\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બંનેમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માં ઉતીર્ણ થયા, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે. ત્રણેય વિષયમાં ઉતીર્ણ થનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.

ધારો કે \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=2 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) એ ત્રણ એવા સદીશો છે કે જેથી \((\vec{c}+\hat{i}) \times(\vec{a}+\vec{b}+\hat{i})=\vec{a} \times(\vec{c}+\hat{i})\). જો \(\vec{a} \cdot \vec{c}=-29\) હોય, તો \(\vec{c} \cdot(-2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=\) ...........

જો વક્ર \(C\) એ \(y\left( x \right) = 1 + \sqrt {4x - 3} ,x > \frac{3}{4}\) મુજબ આપેલ છે . જો બિંદુ \(P\) એ વક્ર \(C\) પર આવેલ છે કે જેથી \(P\) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ \(\frac{2}{3}\) હોય તો બિંદુ \(P\) આગળ અભિલંભનો એ  . . .  બિંદુમાંથી પસાર થાય.

ધારો કે પરવલય \(y^{2}=6 x\) ના બિંદુ \(P\) આગળનો અભિલંબ એ બિંદુ \((5,-8)\) માંથી પસાર થાય છે.જો \(P\)બિંદુ આગળનો પરવલય સ્પર્શક તેની નિયામિકાને \(Q\) બિંદુ એ છેદે,તો આ બિંદુ \(Q\) નો \(y-\)યામ\(\dots\dots\dots\)છે. 

ધારો કે \(\begin{aligned} S _{ n }( x )=\log _{ a ^{1 / 2}} x +\log _{ a / 3} x +\log _{ a ^{1 / 6}} x \\+\log _{ a ^{1 / 11}} x +\log _{ a ^{1 / 18}} x +\log _{ a ^{1 / 27}} x +\ldots . \end{aligned}\) \(n-\)પદો સુધી, જ્યાં \(a > 1\). જો \(S_{24}(x)=1093\) અને \(S _{12}(2 x )=265,\) તો \(a\) નું મૂલ્ય ..... છે.

ધારો કે, \(S=2+\frac{6}{7}+\frac{12}{7^{2}}+\frac{20}{7^{3}}+\frac{30}{7^{4}}+\ldots . .\) છે.તો \(4 S=\dots\dots\dots\dots\)