ધારો કે ઢાળ \(m>0\) વાળી, બિંદુ \((4,-9)\) માંથી પસાર થતી એક ચલ રેખા અક્ષોને બિંદુઓ \(A\) અને \(B\) માં છેદે છે. \(A\) અને \(B\) ના ઉગમબિંદુથી અંતરોના સરવાળાની ન્યૂનતમ કિંમત ........ છે.

ધારો કે \(f: R \rightarrow R\) વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\) અને \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\) તથા ધારો કે \(x \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]\) માટે \(g(x)=\int_{x}^{\pi / 4}\left(f^{\prime}( t ) \operatorname{sect}+\operatorname{tant} \operatorname{sect} f( t )\right) dt\), તો \(\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} g(x)=\)...........

જો \(\sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}\) આપેલ હોય તો  \(16(\sin (2 \theta)+\cos (4 \theta)+\sin (6 \theta))\) ની કિમંત મેળવો.

અંતરાલ \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)\) માં \(x\) ની એવી કેટલી કિંમતો મળે કે જેથી  \(14 \operatorname{cosec}^{2} x-2 \sin ^{2} x=21-4 \cos ^{2} x\) થાય?

ધારો કે \(\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\) અને \(\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\). ધારો કે \(\hat{c}\) એ સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ના સમતલમાં આવેલો એકમ સદિશ છે અને તે \(\vec{a}\) ને લંબ છે. તો આવો સદિશ \(\hat{c}\) ___ છે :

એક ગોળાકાર ફુગ્ગો કે જેની ત્રિજ્યા \(16\, meter\)  છે તેને અવલોકનકાર \(A\) ની આંખ આગળ \(60^{\circ}\) માપનો ખૂણો બનાવે છે અને અવલોકનકાર \(A\) નો ફુગ્ગાને કેન્દ્ર આગળ \(75^{\circ}\) માપનો ઉત્સેધકોણ બનાવે છે તો અવલોકનકારના આંખના લેવલ થી ફુગ્ગાના ટોપ ઊંચાઈ  (મીટરમાં) મેળવો.

જો \(P(4, -4)\) અને \(Q(9, 6)\) એ પરવલય \(y^2 = 4x\) પરના બે બિંદુઓ અને બિંદુ \(X\) એ પરવલયની ચાપ \(POQ\) પરનું કોઈ પણ બિંદુ છે જ્યાં \(O\) એ પરવલયનું શિરોબિંદુ છે કે જેથી \(\Delta PXQ\) નું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય તો મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ................... ચો એકમ થાય 

ધારોકે નીચેના વિતરણ નું મધ્યક \(\mu\) અને પ્રમાણિત વિચલન \(\sigma\) છે. 

\(X_i\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
\(f_i\)	\(k+2\)	\(2k\)	\(K^{2}-1\)	\(K^{2}-1\)	\(K^{2}-1\)	\(k-3\)

 જ્યાં \(\sum f_i=62\). જો \([x]\) એ મહત્તમ પૂર્ણાક \(\leq x\) દર્શાવે,તો \(\left[\mu^2+\sigma^2\right]=.......\)

ધારો કે એક વર્તુળ \(C\) નું કેન્દ્ર પ્રથમ ચરણમાં હોય, તે યામ-અક્ષોને ફક્ત ત્રણ બિંદુઓમાં છેદે અને યામ-અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે. જો રેખા \(x + y = 1\) પરના \(C\) ના જીવાની લંબાઈ \(\sqrt{14}\) હોય, તો \(C\) ની ત્રિજ્યાનો વર્ગ _______ છે.

જો પાંચ અંકો વાળી સંખ્યા કે જેના બધા અંકો ભિન્ન છે અને દશાંશ મૂલ્ય પર \(2\) હોય તેવી કુલ  \(336 \mathrm{k}\) મળે છે તો \(\mathrm{k}\) મેળવો.

\(\left|\frac{120}{\pi^3} \int_0^\pi \frac{x^2 \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x\right|\) = ...........

\(\lim _{n \rightarrow \infty} \tan \left\{\sum_{r=1}^{n} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+r+r^{2}}\right)\right\}\) \(=..........\)

ધારો કે   \(\mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R}\) \(\mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) અને  \(L_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{m} \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{n} \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) એ ત્રણ એવી રેખાઓ છે કે જેથી \(L_1\) એ \(L_2\) ને લંબ છે તથા \(L_3\) એ \(L_1\) અને \(L_2\) બંનેને લંબ છે. તો \(L_3\) પર આવેલ બિંદુ ........... છે.