\(2 \sin \left(\frac{\pi}{22}\right) \sin \left(\frac{3 \pi}{22}\right) \sin \left(\frac{5 \pi}{22}\right) \sin \left(\frac{7 \pi}{22}\right) \sin \left(\frac{9 \pi}{22}\right)\) =

ધારો કે ત્રિકોણ \(ABC\) એ વર્તુળ \(x^{2}-\sqrt{2}(x+y)+y^{2}=0\) માં અંતર્ગત છે કે જેથી ખૂણો \(\angle B A C=\frac{\pi}{2}\). જો બાજુ \(A B\) ની લંબાઈ \(\sqrt{2}\) હોય તો \(\triangle A B C\) નું ક્ષેત્રફળ \(\dots\dots\dots\) થાય.

 \(\left(2 x^{3}+\frac{3}{x^{k}}\right)^{12}, x \neq 0\) નાં દ્રીપદી વિસ્તરણમાં અચળ પદ \(2^{8} \cdot \ell\) હોય, જ્યાં \(\ell\) અયુગ્મ સંખ્યા હોય તેવા ધનપુર્ણાક \(k\) ની સંખ્યા............. છે

ધારો કે \(f(x)\) એ બહુપદ્દી વિધેય છે કે જેથી  \(f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64\). તો ,  \(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}\) ની કિમત ....... છે.

જો  \(\int \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos ^3 x \sin (x-\theta)}} d x=A \sqrt{\cos \theta \tan x-\sin \theta}+B \sqrt{\cos \theta-\sin \theta \operatorname{coc} x}+C\) હોય, જ્યાં \(C\) એ સંકલન અચળાંક છે, તો \(AB =\) ...........

ગણ \(S = \{ x\, \in \,R\,:\,{x^2}\, + \,30\, \le \,11x\} \) પર વિધેય \(f\,(x)\, = 3{x^3} - 18{x^2} + 27x\,\, - 40\) ની મહતમ કિમંત મેળવો.

ધારો કે સદિશો \(\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}\) અને \(\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}\) છે. કોઈક \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) માટે, ધારો કે \(\vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}\). જો \(\vec{c} \cdot (3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}) = 10\) અને \(\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -2\) હોય, તો \(|\vec{c}|^2\) બરાબર છે:

વર્તુળ \(C_1: x^2+y^2-4 x-2 y=\alpha-5\) ધ્યાને લો.ધારોકે તેનુ રેખા \(y=2 x+1\) પરનું આરસી પ્રતિબિંબ અન્ય વર્તુળ \(C_2: 5 x^2+5 y^2-10 f x-10 g y+36=0\) છે. ધારોકે \(r\) એ \(C_2\) ની ત્રિજયા છે. તો \(\alpha+r=.......\)

જો \(\alpha \neq \mathrm{a}, \beta \neq \mathrm{b}, \gamma \neq \mathrm{c}\) અને  \(\left|\begin{array}{lll}\alpha & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\ \mathrm{a} & \beta & \mathrm{c} \\ \mathrm{a} & \mathrm{b} & \gamma\end{array}\right|=0\) હોય, તો \(\frac{a}{\alpha-a}+\frac{b}{\beta-b}+\frac{\gamma}{\gamma-c}\) = ............

ત્રિકોણ \(A B C\) ની ત્રણ બાજુઓ સદિશો \(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \quad \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}\) અને \(3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}\) દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. ધારો કે \(G\) એ ત્રિકોણ \(A B C\) નો કેન્દ્રક છે. તો \(6\left(|\overrightarrow{\mathrm{AG}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{BG}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{CG}}|^2\right)\) = ___ છે.

જો પ્રદેશ \(\left\{(x, y): 0 \leq y \leq \min \left\{2 x, 6 x-x^2\right\}\right\}\) નું ક્ષેત્રફળ \(\mathrm{A}\) હોય, તો \(12 \mathrm{~A}=\) ...........

સમીકરણ \(2 x^2-8 x+k=0\)નું એક બીજ અંતરાલ \((1,2)\)માં આવે તેનું બીજું બીજ અંતરાલ \((2,3)\)માં આવે,તે માટેની \(k\)ની પૂર્ણાંક કિંમતોની સંખ્યા \(...........\) છે.

વિધાન \(-1\) : સમીકરણો  \(x + \left( {\sin \,\alpha } \right)y + \left( {\cos \,\alpha } \right)z = 0\) ;\(x + \left( {\cos \,\alpha } \right)y + \left( {\sin \alpha } \right)z = 0\) ;\(x - \left( {\sin \,\alpha } \right)y - \left( {\cos \alpha } \right)z = 0\) ; ને શૂન્યતર ઉકેલ એ \(\alpha \) ની માત્ર એકજ કિમત કે જે અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) તેના માટે ધરાવે છે . વિધાન \(-2\) : સમીકરણ કે જે \(\alpha \) સ્વરૂપ માં છે \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \sin {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \cos {\mkern 1mu} \alpha } 
\end{array}} \right| = 0\) નું એક માત્ર બીજ અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) માં છે .