\(\left(2 x^{3}+\frac{3}{x^{k}}\right)^{12}, x \neq 0\) નાં દ્રીપદી વિસ્તરણમાં અચળ પદ \(2^{8} \cdot \ell\) હોય, જ્યાં \(\ell\) અયુગ્મ સંખ્યા હોય તેવા ધનપુર્ણાક \(k\) ની સંખ્યા............. છે

ધારો કે  \(k\) એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે  અને વિધેય  \(f(x) = {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\left( {{e^x} - 1} \right)^2}}{{\sin {\mkern 1mu} \left( {\frac{x}{k}} \right){\mkern 1mu} \log {\mkern 1mu} \left( {1 + \frac{x}{4}} \right)}}{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} x \ne 0}\\
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 12{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }
\end{array}} \right.\)   એ સતત વિધેય હોય તો \(k\) ની કિમંત મેળવો.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\,\left[ {{{\tan }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}} \right) - \frac{\pi }{4}} \right]\) = 

એક ત્રિકોણ \(\mathrm{ABC}\) ની બે બાજુઓ \(\mathrm{AB}\) અને \(\mathrm{AC}\) નાં સમીકરણો અનુક્રમે \(4 x+y=14\) અને \(3 x-2 y=5\) છે. બિંદુ \(\left(2,-\frac{4}{3}\right)\) એ ત્રીજીબાજુ \(BC\) નું \(2:1\) નાં ગુણોત્તર માં આંતરવિભાજન કરે છે. બાજુ \(BC\) નું સમીકરણ ............. છે.

ધારોકે \((h, k)\) એ વર્તુળ C : \(x^2+y^2=4\) પર આવેલ છે અને બિંદુ \((2 h+1,3 k+2)\) એ \(e\) ઉત્કેન્દ્રતા વાળા એક ઉપવલય પર આવેલ છે. તો \(\frac{5}{e^2}\) નું મૂલ્ય ___ છે.

જો ત્રણ ભિન્ન રેખાઓ \(x + 2ay + a = 0, x + 3by+ b = 0\) and \(x + 4ay + a = 0\) સંગામી હોય તો બિંદુ \((a, b)\) એ  . . .  પર આવેલ છે .

જો ઉપવલય \(25 x^{2}+4 y^{2}=1\) પરના બિંદુ \((\alpha, \beta)\) માંથી પરવલય \(y^{2}=4 x\) ને દોરેલ બે સ્પર્શકો એવા છે કે જેથી એક સ્પર્શકનો ઢાળ, બીજો સ્પર્શકના ઢાળ કરતાં ચાર ઘણો હોય, તો \((10 \alpha+5)^{2}+\left(16 \beta^{2}+50\right)^{2}\) નું મુલ્ય...................... છે.

ધારો કે વિધેય \(f: R \rightarrow R\) માટે \(f(x+y)=f(x) f(y)\) બધા \(x, y \in R\) અને \(f(1)=3\) થાય જો \(\sum \limits_{i=1}^{n} f(i)=363,\) હોય તો \(n\) ની કિમત શોધો 

\(\log _{\left(x+\frac{7}{2}\right)}\left(\frac{x-7}{2 x-3}\right)^2 \geq 0\) નાં પૂર્ણાક ઉકેલો \(x\) ની સંખ્યા \(..........\) છે.

જો \(x=4\) એ એક ઉપવલયની નિયમિકા છે કે જેનું કેન્દ્ર ઊંગમબિંદુ અને ઉત્કેન્દ્ર્તા \(\frac{1}{2}\) છે તથા \(P (1, \beta), \beta>0\) એ ઉપવલય પરનું બિંદુ હોય તો બિંદુ \(P\) આગળ અભિલંબનું સમીકરણ મેળવો 

પરવલય \(y^{2}=4 a x\) નાં નાભિ અને પરવલય પરના ચલિત બિંદુથી બનતા રેખાખંડનાં મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ એક બીજો પરવલય છે, જેની નિયામિકા ............ છે.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ \(a, b\) \((a> b>0)\) માટે, જો \(\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right.\) અને \(\left.\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \geq 1\right\}\) નું ક્ષેત્રફળ \(=30\,\pi\) અને \(\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \geq b^{2}\right.\) અન \(\left.\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1\right\}\) નું ક્ષેત્રફળ \(=18\,\pi\) હોય,તો \((a-b)^{2}=\dots\dots\)

ધારો કે \(\vec{a}=2 \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}, \vec{c}=\beta \hat{j}-\hat{k}\), જ્યાં \(\alpha\) અને \(\beta\) પૂર્ણાંકો છે અને \(\alpha \beta=-6\). જેના માટે \(\vec{a}+\vec{b}\) અને \(\vec{b}+\vec{c}\) વિકર્ણો વાળા સમાંતર બાજુ ચતુષ્ણકોનું ક્ષેત્રફળ \(\frac{\sqrt{21}}{2}\) થાય, તેવી ક્રમયુક્ત જોડ \((\alpha, \beta)\) ની કિંમત \(\left(\alpha_1, \beta_1\right)\) અને \(\left(\alpha_2, \beta_2\right)\) છે. તો \(\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2=\) ...........