किसी एकसमान तार का प्रति एकांक लम्बाई द्रव्यमान \(0.135\; g / cm\) है। इस तार में कोई अनुप्रस्थ तरंग उत्पन्न होती है जिसका निरूपण समीकरण \(y =-0.21 \sin ( x +30 t )\) द्वारा किया गया है, यहाँ \(x\) मीटर में तथा \(t\) सेकण्ड में है। तार मे तनाव का अपेक्षित मान \(x \times 10^{-2} \;N\) है। \(x\) का मान \(\dots\) होगा। (निकटतम संभावित पूर्णांक तक)

नीचे दो कथन दिए गए हैं। एक को अभिकथन (A) और दूसरे को कारण (R) के रूप में अंकित किया गया है।
अभिकथन (A) :


समान द्रव्यमान के तीन एकसमान गोले चित्र में दर्शाए अनुसार प्रारंभिक वेगों \(v_{\mathrm{A}}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, v_{\mathrm{B}}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, v_{\mathrm{C}}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) के साथ एकविमीय गति करते हैं। यदि हम प्रत्यास्थ संघट्ट होने के लिए पर्याप्त समय तक प्रतीक्षा करते हैं, तो \(v_{\mathrm{A}}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, v_{\mathrm{B}}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\), \(v_{\mathrm{C}}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) अंतिम वेग होंगे।

कारण (R): समान द्रव्यमानों के मध्य एक प्रत्यास्थ संघट्ट में, दो वस्तुएँ अपने वेगों का आदान-प्रदान करती हैं।
उपरोक्त कथनों के प्रकाश में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

एक स्क्रू-गेज का पिच \(0.5\, mm\) है और उसके वृत्तीय-स्केल पर \(50\) भाग हैं। इसके द्वारा एक पतली अल्युमीनियम शीट की मोटाई मापी गई। माप लेने के पूर्व यह पाया गया कि जब स्क्रू-गेज के दो जॉवों को सम्पक में लाया जाता है तब \(45\) वां भाग मुख्य स्केल लाईन कं संपाती होता है और मुख्य स्केल का शून्य \((0)\) मुश्किल से दिखता है। मुख्य स्केल का पाठ्यांक यदि \(0.5\, mm\) तथा \(25\) वां भाग मुख्य स्केल लाईन के संपाती हो, तो शीट की मोटाई ....\(mm\) होगी?

दिये गये चित्र में \(A\) और \(B\) के बीच विभवान्तर ......\(V\) होगा।

जहाज \(A\) वेग \(\overrightarrow{ v }=30 \hat{ i }+50 \hat{ j } \,km / hr\) से उत्तर-पूर्व दिशा में जलयात्रा कर रहा है जहाँ \(\hat{i}\) पूर्व तथा \(\hat{j}\) उत्तर की ओर इंगित है। जहाज \(B\), जहाज \(A\) से \(80\, km\) पूर्व की ओर \(150 km\) उत्तर की ओर, दूरी पर स्थित है और पश्चिम की ओर \(10 \,km / hr\) की चाल से जलयात्रा कर रहा है। \(A\) से \(B\) की दूरी न्यूनतम \(......\,hrs\) होगी ।

एक हौज ( \(\operatorname{tank})\), जिसकी सतह का आकार बहुत बड़ा है, में पानी (अपवर्तनांक \(\left.=\frac{4}{3}\right)\) भरा हुआ है और पानी की सतह के नीचे प्रकाश का एक छोटा स्रोत रखा हुआ है। यदि परावर्तन और पानी में अवशोषण द्वारा प्रकाश की होने वाली क्षति को नगण्य माना जाये तो पानी की सतह से बाहर आने वाला प्रकाश का प्रतिशत लगभग .....\(\%\) है। (एक गोलीय सतह, जिसकी ऊँचाई \(h\) हो और इसकी वक्रता त्रिज्या \(r\) हो तो इसका क्षेत्रफल \(2 \pi rh\) होता है) :

दो पारदर्शी माध्यमों \(M _1\) एवं \(M _2\) के बीच की विभाजन सीमा \(X - Y\) तल से निरूपित है। माध्यम \(M _1, Z \geq 0\) क्षेत्र में फैला हुआ है, जिसका अपवर्तनांक \(\sqrt{2}\) हैं। माध्यम \(M _2, Z < 0\) क्षेत्र में फैला है, जिसका अपवर्तनांक \(\sqrt{3}\) है। सदिश \(\overrightarrow{ A }=4 \sqrt{3} i -3 \sqrt{3} \hat{j}-5 \hat{k}\) द्वारा निरूपित दिशा के अनुदिश प्रकाश की एक किरण, \(M _1\) माध्यम में चल रही है एवं विभाजन तल पर आपतित होती है। माध्यम \(M _1\) में आपतन कोण, एवं माध्यम \(M _2\) में अपवर्तन कोण के अंतर का मान \(.........{}^{\circ}\) (डिग्री) होगा।

\(\max _{0 \leq x \leq \pi}\left\{x-2 \sin x \cos x+\frac{1}{3} \sin 3 x\right\}=\)

मान लीजिए कि अवकल समीकरण \(y^2 \mathrm{~d} x+\left(x-\frac{1}{y}\right) \mathrm{d} y=0\) का हल \(x=x(y)\) है। यदि \(x(1)=1\), तो \(x\left(\frac{1}{2}\right)\) क्या है?

\(f(x)=4 \sin ^{-1}\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)\) का परिसर है

एक गेंद को \(E\) गतिज ऊर्जा के साथ क्षैतिज तल से \(60^{\circ}\) के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेपण के दौरान अधिकतम ऊँचाई पर इस गेंद की गतिज ऊर्जा हो जाएगी:

जब किसी प्रतिरोधक से \(4 \mathrm{~A}\) की धारा प्रवाहित होती है, तो \(10 \mathrm{~s}\) में इसके द्वारा उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा का मान \(\mathrm{H}\) है। यदि धारा \(16 \mathrm{~A}\) तक बढ़ा दी जाए तो \(10 \mathrm{~s}\) में इस प्रतिरोधक द्वारा उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा \(.......\,H\) होगी :

निर्देशांक अक्षों के बीच अंतःखंडित एक रेखा, एक बिंदु \(A (4,3)\) जो \(x\)-अक्ष के पास है, पर समत्रिभाजित होती है, तो उसका समीकरण है