एक गोलीय सममिती आवेश वितरण आवेश घनत्व का निम्नलिखित विचरण रखता है: (r)= (1-r/R) r < R के लिए ( r)=0 r R के लिए जहाँ r आवेश वितरण के केन्द्र से दूरी हैं और o एक स्थिरांक है। एक अन्तः बिन्दु ( r < R) पर विद्युत क्षेत्र है

(A) \frac{{{\rho _0}}}{{4{\varepsilon _0}}}\left( {\frac{r}{3} - \frac{{{r^2}}}{{4R}}} \right)

(C) \frac{{{\rho _0}}}{{3{\varepsilon _0}}}\left( {\frac{r}{3} - \frac{{{r^2}}}{{4R}}} \right)

(D) \frac{{{\rho _0}}}{{12{\varepsilon _0}}}\left( {\frac{r}{3} - \frac{{{r^2}}}{{4R}}} \right)

JEE Mains · Physics · STD 12 - वैद्युत आवेश तथा क्षेत्र

एक गोलीय सममिती आवेश वितरण आवेश घनत्व का निम्नलिखित विचरण रखता है : \(\rho(r)=\rho_{o}\left(1-\frac{r}{R}\right) r < R\) के लिए \(\rho( r )=0 \quad r \geqslant R\) के लिए जहाँ \(r\) आवेश वितरण के केन्द्र से दूरी हैं और \(\rho_{ o }\) एक स्थिरांक है। एक अन्तः बिन्दु \(( r < R )\) पर विद्युत क्षेत्र है

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सही उत्तर

(B) \(\frac{{{\rho _0}}}{{{\varepsilon _0}}}\left( {\frac{r}{3} - \frac{{{r^2}}}{{4R}}} \right)\)

विस्तृत व्याख्या

Let us consider a spherical shell of radius \(x\) and thickness \(dx.\)

Charge on this shell

\(\mathrm{dq}=\rho 4 \pi \mathrm{x}^{2} \mathrm{dx}=\rho_{0}\left(1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{R}}\right) .4 \pi \mathrm{x}^{2} \mathrm{dx}\)

\(\therefore\) Total charge in the spherical region from centre to \(r(r < R)\)

\(q=\int d q=4 \pi \rho_{0} \int_{0}^{T}\left(1-\frac{x}{R}\right) x^{2} d x\)

\(=4 \pi \rho_{0}\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4 R}\right]_{0}^{t}\)

\(=4 \pi \rho_{0}\left[\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4 R}\right]\)

\(=4 \pi \rho_{0} r^{3}\left[\frac{1}{3}-\frac{r}{4 R}\right]\)

\(\therefore\) Electric field atr, \(\mathrm{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{\mathrm{q}}{\mathrm{r}^{2}}\)

\( = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{4\pi {\rho _0}{r^3}}}{{{r^2}}} \cdot \left[ {\frac{1}{3} - \frac{r}{{4R}}} \right]\)

\(=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\left[\frac{\tau}{3}-\frac{\tau^{2}}{4 R}\right]\)

वही विषय

सूची\(-I\)	सूची\(-II\)
\((a)\) \(\omega L\,>\,\frac{1}{\omega C}\)	\((i)\) धारा और \(emf\) समान कला में
\((b)\) \(\omega {L}=\frac{1}{\omega {C}}\)	\((ii)\) धारा अनुप्रयुक्त \(emf\) से पश्च
\((c)\) \(\omega {L}\, < \,\frac{1}{\omega {C}}\)	\((iii)\) अधिकतम धारा प्रवाहित होती है।
\((d)\) अनुनाद आवत्ति	\((iv)\) धारा \(emf\) से अग्र

JEE Mains से

सूची-I		सूची-II
A.	एक आदर्श गैस का दाब उसके आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है	I.	रुद्धोष्म प्रक्रम
B.	अवशोषित ऊष्मा का कुछ भाग आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि करता है और कुछ भाग कार्य करने में उपयोग होता है	II.	समआयतनिक प्रक्रम
C.	किसी निकाय द्वारा न तो ऊष्मा अवशोषित की जाती है और न ही मुक्त की जाती है	III.	समतापी प्रक्रम
D.	किसी गैस पर या उसके द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है	IV.	समदाबी प्रक्रम