द्रव्यमान \(m\) के एक उपग्रह को पृथ्वी की सतह से ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर \(u\) गति से प्रक्षेपित किया जाता है। जब यह उपग्रह \(R ( R =\) पृथ्वी की त्रिज्या \()\) की ऊँचाई पर पहुँचता है, तो यह \(\frac{ m }{10}\) द्रव्यमान के एक रॉकेट का उत्क्षेपण (rejection) इस प्रकार से करता है कि उपग्रह तत्पश्चात् एक वृत्तीय कक्षा में चलने लगता है। उत्क्षेपित रॉकेट की गतिज ऊर्जा है ( \(G\) गुरूत्त्वाकर्षण स्थिरांक व \(M\) पृथ्वी का द्रव्यमान है):

Applying energy conservation

\({\mathrm{K}_{1}+\mathrm{U}_{\mathrm{i}}=\mathrm{K}_{\mathrm{f}}+\mathrm{U}_{\mathrm{f}}}\)

\({\frac{1}{2} \mathrm{mu}^{2}+\left(-\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\right)=\frac{1}{2} \mathrm{mv}^{2}-\frac{\mathrm{GMm}}{2 \mathrm{R}}}\)

\(\mathrm{v}=\sqrt{\mathrm{u}^{2}-\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}}}\)

By momentum conservation, we have

\(\frac{\mathrm{m}}{10} \mathrm{v}_{\mathrm{T}}=\frac{9 \mathrm{m}}{10} \sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{2 \mathrm{R}}}\)

and \(\frac{\mathrm{m}}{10} \mathrm{v}_{\mathrm{r}}=\mathrm{mv}\)

\(\Rightarrow \frac{\mathrm{m}}{10} \mathrm{v}_{\mathrm{r}}=\mathrm{m} \sqrt{\mathrm{u}^{2}-\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}}}\)

Kinetic energy of rocket

\({=\frac{1}{2} \mathrm{m}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{T}}^{2}+\mathrm{v}_{\mathrm{r}}^{2}\right)}\)

\({=\frac{\mathrm{m}}{20}\left(81 \frac{\mathrm{GM}}{2 \mathrm{R}}+100 \mathrm{u}^{2}-100 \frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}}\right)}\)

\({=\frac{\mathrm{m}}{20}\left(100 \mathrm{u}^{2}-\frac{119 \mathrm{GM}}{2 \mathrm{R}}\right)}\)

\({=5 \mathrm{m}\left(\mathrm{u}^{2}-\frac{119 \mathrm{GM}}{200 \mathrm{R}}\right)}\)