यदि क्षेत्र \(\left\{(x, y):\left|x^2-2\right| \leq y \leq x\right\}\) का क्षेत्रफल \(A\) है, तो \(6 \mathrm{~A}+16 \sqrt{2}\) बराबर है :

माना तीन अशून्य सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=0\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}}{2}\) है। यदि सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}\) हो, तो \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})\) बराबर है

मान लीजिए कि O परवलय \(y^2=4x\) का शीर्ष है और इसकी जीवाएँ OP तथा OQ एक दूसरे के लंबवत हैं। यदि रेखाखंड PQ के मध्य-बिंदु का बिंदुपथ एक शांकव C है, तो इसकी नाभिलंब की लंबाई है:

माना श्रेणी \(1^{2}+2 \cdot 2^{2}+3^{2}+2 \cdot 4^{2}+5^{2}+2 \cdot 6^{2}+\ldots .\) के प्रथम \(20\) पदों का योग \(A\) है तथा प्रथम \(40\) पदों का योग \(B\) है। यदि \(B-2 A=100 \lambda .\) तो \(\lambda\) बराबर है

माना रैखिक समीकरण \(x +2 y + z =2\), \(\alpha x +3 y - z =\alpha,-\alpha x + y +2 z =-\alpha\) असंगत है तो \(\alpha\) बराबर होगा।

जिस \(n \in N\) के न्यूनतम मान के लिए अंतराल \(\left[0, \frac{\mathrm{n} \pi}{2}\right]\) में \(2 \tan ^2 \theta-5 \sec \theta=1\) के ठीक \(7\) हल है, उस \(n\) के लिए \(\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}\) = ...........

यदि दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{3}=1\) के एक बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, निर्देशांक अक्षों को \(A\) तथा \(B\) पर मिलती है तथा \(O\) मूल बिंदु है, तो त्रिभुज \(OAB\) का न्यूनतम क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

माना \(\alpha \in(0,1)\) तथा \(\beta=\log _e(1-\alpha)\) है। माना \(P_n(x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots .+\frac{x^n}{n}, x \in(0,1)\) है। तो समाकलन \(\int_0^\alpha \frac{\mathrm{t}^{50}}{1-\mathrm{t}} \mathrm{dt}\) बराबर है

मान लीजिए A, B, C \(x y\)-तल में तीन बिंदु हैं, जिनके स्थिति सदिश मूल बिंदु O के सापेक्ष क्रमशः \(\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+\sqrt{3} \hat{j}\) और \(\mathrm{a} \hat{i}+(1-\mathrm{a}) \hat{j}\) दिए गए हैं। यदि बिंदु C की सदिशों \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाली रेखा से दूरी \(\frac{9}{\sqrt{2}}\) है, तो \(a\) के सभी संभावित मानों का योग ज्ञात कीजिए:

अकों \(1,2,3,4,5\) तथा \(6\) के प्रयोग से बिना पुनावृत्ति के \(1000\) तथा \(3000\) के बीच \(4\) से विभाज्य संख्याएँ बनाई जानी हैं। इस प्रकार की संख्याओं की कुल संख्या है \(.............\)

माना \(A (1,-1)\) तथा \(B (0,2)\) दो बिन्दु हैं। यदि एक बिंदु \(P \left( x ^{\prime}, y ^{\prime}\right)\) इस प्रकार है कि \(\triangle PAB\) का क्षेत्रफल \(=5\) वर्ग इकाई है तथा यह रेखा \(3 x + y -4 \lambda=0\) पर स्थित है, तो \(\lambda\) का एक मान है 

एक न्याय्य सिक्का \(n\) बार उछाला जाता है, जिसके लिए कम से कम एक चित आने की प्रायिकता कम से कम \(0.9\) है, तो \(n\) का न्यूनतम मान है ।

मान लीजिए कि फलन,
\(f(x)= \begin{cases}-3 a x^2-2, & x \lt 1 \\ a^2+b x, & x \geqslant 1\end{cases}\)
\(x \in \mathbf{R}\) के सभी मानों के लिए अवकलनीय है, जहाँ \(\mathbf{a}\gt1, \mathbf{b} \in \mathbf{R}\) हैं। यदि \(y=f(x)\) और रेखा \(y=-20\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल \(\alpha+\beta \sqrt{3}\) है, जहाँ \(\alpha, \beta \in Z\) हैं, तो \(\alpha+\beta\) का मान ________ है।