यदि \(\sum_{ k =1}^{31}\left({ }^{31} C _{ k }\right)\left({ }^{31} C _{ k -1}\right)-\sum_{ k =1}^{30}\left({ }^{30} C _{ k }\right)\left({ }^{30} C _{ k -1}\right)=\frac{\alpha(60 !)}{(30 !)(31 !)}\) जहाँ \(\alpha \in R\), तब \(16 \alpha\) का मान होगा ?

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

जब एक अभिनत पासा फेंका जाता है, तो एक विशेष फलक के प्राप्त होने की प्रायिकता \(\frac{1}{6}-x\) है तथा इसकी सम्मुख फलक के प्राप्त होने की प्रायिकता \(\frac{1}{6}+x\) है। शेष सभी फलकों के प्राप्त होने की प्रायिकता \(\frac{1}{6}\) है। गौर कीजिए कि किसी भी पासे के सम्मुख फलकों का योग \(7\) होता है। यदि \(0 < x < \frac{1}{6}\) है तथा ऐसे दो पासे दो बार फेंकने पर कुल योग \(7\) प्राप्त करने की प्रायिकता \(\frac{13}{96}\) है, तो \(x\) का मान है

माना एक त्रिभुज, जिसके शीर्ष \(A ( a , 3), B ( b , 5)\) तथा \(C ( a , b ), ab > 0\) हैं, का परिकेन्द्र \(P (1,1)\) है। यदि रेखा \(AP\), रेखा \(BC\) के बिन्दु \(Q \left( k _1, k _2\right)\) पर काटती है, तो \(k _1+ k _2\) बराबर है:

कुछ एक जैसी गेंदें पंक्तियों में इस प्रकार रखी गई हैं कि वह एक समबाहु त्रिभुज बनाती है। पहली पंक्ति में एक गेंद है, दूसरी पंक्ति में दो गेंदें है तथा इसी प्रकार अन्य पंक्तियों में गेंदें है। समबाहु त्रिभुज बनाने में लगी कुल गेंदों में यदि एक जैसी \(99\) गेंदें और जोड़ दी जायें तो इन सारी गेंदों को एक ऐसे वर्ग के आकार में रखा जा सकता है जिसकी प्रत्येक भुजा में त्रिभुज की प्रत्येक भुजा से ठीक दो गेंदें कम है। तो समबाहु त्रिभुज बनाने में लगी गेंदों की संख्या हैं 

माना \(f(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{cl}-\mathrm{a} & \text { if }-\mathrm{a} \leq \mathrm{x} \leq 0 \\ \mathrm{x}+\mathrm{a} & \text { if } 0<\mathrm{x} \leq \mathrm{a}\end{array}\right.\) जहाँ \(\mathrm{a}>0\) और \(\mathrm{g}(\mathrm{x})=(f|\mathrm{x}|)-|f(\mathrm{x})|) / 2\).  तब फलन \(\mathrm{g}:[-\mathrm{a}, \mathrm{a}] \rightarrow[-\mathrm{a}, \mathrm{a}]\) :

माना \(\mathrm{A}(4,-2), \mathrm{B}(1,1)\) और \(\mathrm{C}(9,-3)\) एक त्रिभुज \(A B C\) के शीर्ष हैं। तो समांतर चतुर्भुज AFDE का अधिकतम क्षेत्रफल, जो त्रिभुज ABC की भुजाओं \(\mathrm{BC}, \mathrm{CA}\) और AB पर क्रमशः स्थित शीर्षों \(\mathrm{D}, \mathrm{E}\) और F से बनता है, वह __________ है।

यदि रेखा \(2(x+1)=y=z+4\) तथा समतल \(2 x-y+\sqrt{\lambda} z+4=0\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{6}\) है, तो \(\lambda\) का मान है

रेखाओं \(y =|| x -1|-2|\) द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है ....... |

एक आयत, \(2 \sqrt{2}\) भुजा के एक समबाहु त्रिभुज के चित्रानुसार अंतर्गत है, तो ऐसे एक आयत के अधिकतम क्षेत्रफल का वर्ग है ........ |

यदि फलन \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sec ^{-1}\left(\frac{2 \mathrm{x}}{5 \mathrm{x}+3}\right)\) का प्रांत \([\alpha, \beta) \cup(\gamma, \delta]\) है, तो \(|3 \alpha+10(\beta+\gamma)+21 \delta|\) बराबर है_________|

यदि श्रेणी \(3+4+8+9+13+14+18+19+\ldots\) के प्रथम \(40\) पदों का योगफल \((102) \,m\) है, तो \(m\) बराबर है

मान लीजिए \(\alpha, \alpha + 2, \alpha \in \mathbb{Z}\), द्विघात समीकरण \(x(x+2) + (x+1)(x+3) + (x+2)(x+4) + \ldots + (x+n-1)(x+n+1) = 4n\) के मूल हैं किसी \(n \in \mathbb{N}\) के लिए। तब \(n + \alpha\) बराबर है :