यदि \(f(x+y)=f(x) f(y)\) तथा \(\sum_{x=1}^{\infty} f(x)=2, x, y \in N\), हैं, जहाँ \(N\), सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, तो \(\frac{f(4)}{f(2)}\) का मान है

यदि समाकलन \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{x^2 \cos x}{1+\pi^x}+\frac{1+\sin ^2 x}{1+e^{\sin x^{2023}}}\right) d x=\frac{\pi}{4}(\pi+a)-2\) हे। तो \(\mathrm{a}\) का मान ........... है।

फलन \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\cos \mathrm{x})-\mathrm{x}+1, \mathrm{x} \in \mathbb{R}\) के लिए, निम्नलिखित दो कथनों के बीच (\(S1\)) \([0, \pi]\) में \(f(x)=0\) का केवल एक मान है। (\(S2\)) \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) अंतराल \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) में ह्रासमान है और \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\) में वर्धमान है।

मान लीजिए \(\alpha = 3+4+8+9+13+14+\ldots\) 40 पदों तक। यदि \((\tan\beta)^{\frac{\alpha}{1020}}\) समीकरण \(x^2+x-2=0\) का एक मूल है, जहाँ \(\beta \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\), तो \(\sin^2\beta + 3\cos^2\beta\) किसके बराबर है?

एक त्रिभुज जिसके शीर्ष बिन्दु \(A (-2,3), B (1,9)\) तथा \(C(3,8)\) हैं, पर विचार कीजिए। यदि एक रेखा \(L\), जो त्रिभुज \(ABC\) के परिकेन्द्र से होकर जाती है रेखा \(BC\) को समद्विभाजित करती है तथा \(y\)-अक्ष को बिन्दु \(\left(0, \frac{\alpha}{2}\right)\) पर काटती है, तो वास्तविक संख्या \(\alpha\) का मान है .......... |

दो मीटर लम्बी एक सीढ़ी एक ऊध्र्वाधर दीवार के साथ झुकी हुई है। यदि सीढ़ी का शिखर \(25 \,cm / sec\). की दर से दीवार के साथ नीचे की ओर फिसलना शुरू करता है, तो वह दर \(( cm / sec\). में) जिस से सीढ़ी का पाद , क्षैतिज धरातल पर, दीवार से दूर फिसलता है जब सीढ़ी का शिखर धरातल से \(1\) मीटर की ऊँचाई पर है

माना \(f : R \rightarrow R\),\(f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y), f\left(\frac{1}{2}\right)=-1\) द्वारा परिभाषित है। तो \(\sum_{ k =1}^{20} \frac{1}{\sin ( k ) \sin ( k + f ( k ))}\) बराबर है

दो सदिशों \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\lambda \hat{\mathrm{k}}, \lambda \gt 0\) पर विचार कीजिए। उनके बीच का कोण \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}\right)\) द्वारा दिया गया है। माना \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}_1+\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\), जहाँ \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\) सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) के समांतर है और \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\) सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) के लंबवत है। तो \(\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\right|^2\) का मान क्या है?

\(31\) दिनों के एक महीने से, \(3\) भिन्न तिथियाँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। यदि इन तिथियों के एक वर्धमान समांतर श्रेणी (A.P.) में होने की प्रायिकता \(\dfrac{a}{b}\) के बराबर है, जहाँ \(a,b \in \mathbb{N}\) और \(\gcd(a,b)=1\), तो \(a+b\) किसके बराबर है ______

यदि दीर्घवृत्त \(\frac{ x ^2}{ a ^2}+\frac{ y ^2}{ b ^2}=1\), रेखा \(\frac{ x }{7}+\frac{ y }{2 \sqrt{6}}=1\) को \(x\)-अक्ष पर तथा रेखा \(\frac{ x }{7}-\frac{ y }{2 \sqrt{6}}=1\) को \(y\)-अक्ष पर मिलता है, तो दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता है।

यदि \(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{x}{1+x}\right)\right)^x=\alpha\), तो \(\frac{\log _{\mathrm{e}} \alpha}{1+\log _{\mathrm{e}} \alpha}\) = __________

माना एक त्रिभुज \(\mathrm{PQR}\) में \(\mathrm{R}(-1,4,2)\) है। माना \(\mathrm{PQ}\) का मध्य बिंदु \(\mathrm{M}(2,1,2)\) है। तो रेखाओं \(\frac{x-2}{0}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}\) तथा \(\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z+1}{1}\) के प्रतिच्छेदन बिंदु से \(\triangle \mathrm{PQR}\) के केन्द्रक की दूरी ........... है।

यदि रेखाओं \(\mathrm{x} \cos \theta+\mathrm{y} \sin \theta=7, \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) के निर्देशांक अक्षो के बीच रेखाखंडो के मध्य बिंदुओं द्वारा बने वक्र पर एक बिंदु \(\left(\alpha, \frac{7 \sqrt{3}}{3}\right)\) है, तो \(\alpha\) बराबर है :