यदि \(f(x)=\log _{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right),|x|<1\), है, तो \(f\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)\) बराबर है

माना \(\quad \overrightarrow{\mathrm{a}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\alpha \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{c}}=\beta \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}\), जहाँ \(\alpha\) और \(\beta\) पूर्णांक हैं और \(\alpha \beta=-6\)। क्रमित युग्म \((\alpha, \beta)\) के मान जिनके लिए विकर्णों \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{b}+\vec{c}\) वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{21}}{2}\) है, \(\left(\alpha_1, \beta_1\right)\) और \(\left(\alpha_2, \beta_2\right)\) हैं। तो \(\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2\) = ...........

यदि सम्मिश्र संख्या \(z =\frac{3+2 i \cos \theta}{1-3 i \cos \theta}, \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) का वारतविक भाग शून्य है, तो \(\sin ^{2} 3 \theta+\cos ^{2} \theta\) का मान बराबर है

रेखा \(x - y +1=0\) में बिंदु \((3,5)\) का प्रतिबिंब निम्न में से किस पर स्थित है ?

यदि फलन \(f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{x-1}{2 x+3}\right)\) का प्रांत \(R-(\alpha, \beta)\) है, तो \(12 \alpha \beta\) = ...........

एक समांतर चतुर्भुज की दो भुजाएँ रेखाओं \(4 x+5 y=0\) तथा \(7 x +2 y =0\) के अनुदिश है। यदि इस समांतर चतुर्भुज के एक विकर्ण का समीकरण \(11 x+7 y=9\) है, तो दूसरा विकर्ण निम्न में से किस बिंदु से होकर जाता है?

मान लीजिए अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}=\frac{(2+\alpha) x-\beta y+2}{\beta x-2 \alpha y-(\beta \gamma-4 \alpha)} \quad\) का हल एक वृत्त को निरूपित करता है जो मूल बिंदु से होकर गुजरता है। तब इस वृत्त की त्रिज्या ........... है।

\((1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+\) \(\cdots \cdots+x^{1000}\) के द्विपद प्रसार में \(x^{50}\) का गुणाँक है

यदि \(\alpha+\beta+\gamma=2 \pi\) है, तो समीकरण निकाय \(x+(\cos \gamma) y+(\cos \beta) z=0\) \((\cos \gamma) x+y+(\cos \alpha) z=0\) \((\cos \beta) x+(\cos \alpha) y+z=0\)

\(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{2}{\mathrm{x}}\) द्वारा परिभाषित फलन \(\mathrm{f}:(0,2) \rightarrow \mathrm{R}\) तथा \(g(x)=\left\{\begin{array}{cc}\min \{f(t)\}, & 0 < t \leq x \text { and } 0 < x \leq 1 \\ \frac{3}{2}+x, & 1 < x< 2\end{array}\right.\) द्वारा परिभाषित फलन \(\mathrm{g}(\mathrm{x})\) का विचार कीजिए। तो,

मान लीजिए कि समीकरणों के निकाय :
\(\begin{aligned}
& 2 x+3 y+5 z=9 \\
& 7 x+3 y-2 z=8 \\
& 12 x+3 y-(4+\lambda) z=16-\mu
\end{aligned}\)
के अनंत हल हैं। तब \((\lambda, \mu)\) पर केंद्रित तथा रेखा \(4 x=3 y\) को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या क्या है?

माना \(\alpha\) तथा \(\beta\) समीकरण \(x ^{2}+ x +1=0\) के मूल हैं, तो \(R\) में \(y \neq 0\) के लिए \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{y\, + \,1}&\alpha &\beta \\
\alpha &{y\, + \,\beta }&1\\
\beta &1&{y\, + \,\alpha }
\end{array}} \right|\) बराबर है:

समाकल \(\int \frac{d x}{x^{2}\left(x^{4}+1\right)^{3 / 4}}\) बराबर है