यदि दिए गए अवकल समीकरण \(\left(e^y+1\right) \cos x d x+e^y \sin x d y=0\) का हल \(y(x)\) बिंदु \(\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)\) से होकर गुजरता है, तो \(e^{y\left(\frac{\pi}{6}\right)}\) का मान .......... है।

माना तीन अशून्य सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=0\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}}{2}\) है। यदि सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}\) हो, तो \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})\) बराबर है

वत्त \((x-3)^{2}+y^{2}=9\) तथा परवलय \(y^{2}=4 x\) की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है। यदि दो संपर्क बिन्दु \(( a , b )\) तथा \(( c , d )\) भिन्न हैं तथा प्रथम चतुर्थाश में है, तो \(2( a + c )\) बराबर है .............

माना वक्र \(y ^5-9 xy +2 x =0\) पर उन बिंदुओं, जिन पर स्पर्श रेखा \(x\)-अक्ष तथा \(y\)-अक्ष के समांतर है, की संख्या क्रमशः \(M\) तथा \(N\) है। \(M +\) \(N\) बराबर है \(..........\)

माना \( \alpha, \beta \) द्विघात समीकरण \( 12x^{2}-20x+3\lambda=0 \) जहाँ \( \lambda\in\mathbb{Z} \) के मूल हैं। यदि \( \frac{1}{2}\le|\beta-\alpha|\le\frac{3}{2}, \) तो \( \lambda \) के सभी संभव मानों का योग ___ है।

त्रिभुज \(\mathrm{ABC}\) की भुजाओं \(\mathrm{AB}\) तथा \(\mathrm{AC}\) के समीकरण क्रमश: \((\lambda+1) x+\lambda y=4\) तथा \(\lambda \mathrm{x}+(1-\lambda) \mathrm{y}+\lambda=0\) है। इसका शीर्ष \(\mathrm{A}, \mathrm{y}\)-अक्ष पर स्थित है तथा इसका लम्बकेन्द्र \((1,2)\) है। प्रथम चतुर्थांश में परवलय \(\mathrm{y}^2=6 \mathrm{x}\) के भाग के बिन्दु \(\mathrm{C}\) खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई है

एक बिन्दु \(P\), रेखा \(2 x -3 y +4=0\) पर गति करता है। यदि \(Q (1,4)\) तथा \(R (3,-2)\) निशिचत बिन्दु हैं, तो \(\triangle PQR\) के केन्द्रक का बिन्दुपथ (locus) एक रेखा है

मान लीजिए कि \(y=y(x)\) अवकल समीकरण \(x\sqrt{1-x^2}\,dy + \left(y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x\right)dx = 0\) का हल है, जहाँ \(x \in (0, 1)\) और \(\displaystyle\lim_{x\to 1^-} y(x) = 1\) है। तो \(y\left(\dfrac{1}{2}\right)\) बराबर है:

माना एक समान्तर श्रेणी के प्रथम \(\mathrm{n}\) पदों का योग \(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}\) है। यदि \(\mathrm{S}_{10}=390\) तथा दसवें और पाँचवें पदों का अनुपात \(15: 7\) है। तो \(\mathrm{S}_{15}-\mathrm{S}_5\) = ...........

माना \(f(x)=\int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^{2}} d x(x \geq 0)\) है। तब \(f(3)-f(1)\) का मान होगा

समीकरण, \(e^{6 x }- e ^{4 x }-2 e ^{3 x }-12 e ^{2 x }+ e ^{ x }+1=0\) के वास्तविक मूलों की संख्या है

यदि \(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x\right)=b\) है, तो क्रमित युग्म \(( a , b )\) है

धन पदों की एक अनन्त श्रेणी का योग \(3\) है तथा इसके पदों के घनों (cubes) का योग \(\frac{27}{19}\) है, तो इस श्रेणी का सार्व अनुपात है