यदि \(\int \limits_{0}^{\pi}\left(\sin ^{3} x\right) e^{-\sin ^{2} x} d x=\alpha-\frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} d t\) है, तो \(\alpha+\beta\) बराबर है ........ |

माना \(x * y = x ^2+ y ^3\) तथा \(( x * 1) * 1= x *(1 * 1)\) है, तो \(2 \sin ^{-1}\left(\frac{x^4+x^2-2}{x^4+x^2+2}\right)\) का मान होगा

माना \(\alpha\) और \(\beta\) समीकरण \(5 x^{2}+6 x-2=0\) के मूल हैं यदि \(S_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}, n=1,2,3, \ldots\), तो

यदि एक अतिपरवलय के संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) की लंबाई \(5\) है तथा इसकी नाभियाँ के बीच की दूरी \(13\) है, तो इस अतिपरवलय की उत्केंद्रता है 

माना एक समांतर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं के समीकरण \(2 x-3 y=-23\) तथा \(5 x+4 y=23\) हैं। यदि इसके एक विकर्ण \(\mathrm{AC}\) का समीकरण \(3 x+7 y=23\) है तथा \(A\) की दूसरे विकर्ण से दूरी \(d\) है, तो \(50 \mathrm{~d}^2\) बराबर है:

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

मान लीजिए कि रेखा L बिंदु (-3, 5, 2) से होकर जाती है और धनात्मक निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यदि L की बिंदु \( (-2,r,1) \) से दूरी \( \sqrt{\frac{14}{3}} \) है, तो r के सभी संभावित मानों का योग ........... है।

बिंदु \((1,3)\) से होकर जाने वाली तथा सरल रेखा \(y +1=3 \sqrt{2} x\) से \(\tan ^{-1}(\sqrt{2})\) का कोण बनाने वाली रेखाओं में से एक का समीकरण है

यदि \(x \phi( x )=\int \limits_{5}^{x}\left(3 t ^{2}-2 \phi^{\prime}( t )\right) dt , x >-2\), तथा \(\phi(0)=4\), है, तो \(\phi(2)\) बराबर है

यदि परवलयों \(y ^{2}=4 x\) तथा \(x ^{2}=4 y\) की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा, वृत्त \(x ^{2}+ y ^{2}= c ^{2}\) को भी स्पर्श करती है, तो \(c\) बराबर है

माना वृत्त \(x ^2+ y ^2- x +2 y =\frac{11}{4}\) का केन्द्र \(C\) है तथा वृत्त पर एक बिंदु \(P\) है। एक रेखा, बिंदु \(C\) से होकर जाती है, रेखा \(CP\) से \(\frac{\pi}{4}\) का कोण बनाती है तथा वृत्त को बिंदुओं \(Q\) तथा \(R\) पर काटती है। तब त्रिभुज \(PQR\) का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) है :

माना अवकल समीकरण \(\frac{2+\sin x}{y+1} \cdot \frac{d y}{d x}=-\cos x, y>0, y(0)=1\) का हल \(y=y(x)\) है। यदि \(y(\pi)=a\) और \(x=\pi\) पर \(\frac{d y}{d x}\) का मान \(b\) है तो क्रमित युग्म \((a, b)\) बराबर है

माना \(\alpha\) व \(\beta\) वास्तविक संख्याएं है। एक \(3 \times 3\) आव्यूह \(A\) है लिए \(A^2=3 A+\alpha I\) है। यदि \(\mathrm{A}^4=21 \mathrm{~A}+\beta \mathrm{I}\), है तब