\(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{(x+2 \cos x)^{3}+2(x+2 \cos x)^{2}+3 \sin (x+2 \cos x)}{(x+2)^{3}+2(x+2)^{2}+3 \sin (x+2)}\right)^{\frac{100}{x}}\) बराबर है  \(..........\)

यदि "KANPUR" शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले सभी शब्दों को (अर्थ सहित या रहित) शब्दकोश के अनुसार व्यवस्थित किया जाता है, तो इस व्यवस्था में \(440^{\text {th }}\) स्थान पर आने वाला शब्द होगा :

माना धनात्मक संख्याएँ \(\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \mathrm{a}_3, \mathrm{a}_4\) तथा \(\mathrm{a}_5\) एक \(G.P.\) में है। माना इसके माध्य तथा प्रसरण क्रमशः \(\frac{31}{10}\) तथा \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}\) है, जहाँ \(\mathrm{m}\) तथा \(\mathrm{n}\) असभाज्य हैं। यदि इन संख्याओं के व्युत्क्रमों का माध्य \(\frac{31}{40}\) है तथा \(a_3+a_4+a_5=14\) है, तो \(m+n\) बराबर है_____________।

माना \(Q\), बिन्दु \((2,3,-1)\) का रेखा \(L : \frac{ x -3}{2}=\frac{ y -1}{1}=\frac{ z -2}{1}\) में दर्पण प्रतिबिम्ब है। माना एक समतल \(P\) बिन्दु \(Q\) से होकर जाता है तथा रेखा \(L , P\) पर लम्बवत् है। तो निम्न में से कौन सा बिन्दु समतल \(P\) पर है ?

सरल रेखा \(3 x +5 y =15\) पर स्थित एक बिन्दु, जो निर्देशांक अक्षों में समदूरस्थ है, केवल स्थित है -

परवलय \(x ^{2}=8 y\) की स्पर्श रेखा का समीकरण, जो \(x\) अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ \(\theta\) कोण बनाता है, होगा

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

यदि परवलय का समीकरण, जिसका शीर्ष बिन्दु \((5,4)\) पर तथा नियता \(3 x + y -29=0\) हो, \(x^2+a y^2+b x y+c x+d y+k=0\) है, तो \(a + b + c + d + k\) बराबर है

एक समांतर चतुर्भुज की दो भुजाएँ रेखाओं \(4 x+5 y=0\) तथा \(7 x +2 y =0\) के अनुदिश है। यदि इस समांतर चतुर्भुज के एक विकर्ण का समीकरण \(11 x+7 y=9\) है, तो दूसरा विकर्ण निम्न में से किस बिंदु से होकर जाता है?

मान लीजिए \(z_1, z_2\) और \(z_3\) तीन सम्मिश्र संख्याएँ वृत्त \(|z|=1\) पर स्थित हैं, जिनके लिए \(\arg \left(z_1\right)=\frac{-\pi}{4}, \arg \left(z_2\right)=0\) और \(\arg \left(z_3\right)=\frac{\pi}{4}\) है। यदि \(\left|z_1 \bar{z}_2+z_2 \bar{z}_3+z_3 \bar{z}_1\right|^2=\alpha+\beta \sqrt{2}\) है, जहाँ \(\alpha, \beta \in \mathbf{Z}\) हैं, तो \(\alpha^2+\beta^2\) का मान क्या है:

बिन्दु \(P (2,3)\) से गुजरने वाली प्रकाश की किरण \(x\)-अक्ष पर बिन्दु \(A\) पर परावर्तित होती है और परावर्तित किरण बिन्दु \(Q (5,4)\) से होकर गुजरती है। मान लीजिए \(R\) वह बिन्दु है जो रेखाखण्ड \(AQ\) को आन्तरिक रूप से \(2: 1\) के अनुपात में विभाजित करता है। माना कोण \(PAQ\) के समद्धिभाजक पर \(R\) से लंबवत \(M\) के पाद के निर्देशांक \((\alpha, \beta)\) है, तब \(7 \alpha+3 \beta\) का मान बराबर है

एक कण \(xy\) समतल में वक्र \(C\) के अनुदिश गति करता है तथा बिन्दु \((3,3)\) से गुजरता है। वक्र \(C\) क, किसी बिन्दु \(P\) की स्पर्शी \(x\)-अक्ष को \(Q\) पर मिलती है। यदि रेखाखण्ड \(PQ , y\) - अक्ष द्वारा समद्विभाजित होता है, तो \(C\) एक परवलय है जिसका