वह सभी युग्म \(( x , y )\) जो असमिका \(2 \sqrt{\sin ^{2} x-2 \sin x+5} \cdot \frac{1}{4^{\sin ^{2} y}} \leq 1\) को संतुष्ट करते हैं, निम्न में से किस समीकरण को भी संतुष्ट करते हैं ?

माना परवलय \(P : y ^2=4 a x , a > 0\) है जिसकी नाभि \(S\) है। माना परवलय \(P\) की स्पर्श रेखायें, रेखा \(y =3 x +5\) के साथ \(\frac{\pi}{4}\) का कोण बनाती है जो परवलय \(P\) को \(A\) तथा \(B\) पर स्पर्श करती है तब \(a\) का मान, जिसके लिये \(A , B\) तथा \(S\) समरेखीय है:

यदि \(S =\frac{7}{5}+\frac{9}{5^{2}}+\frac{13}{5^{3}}+\frac{19}{5^{4}}+\ldots .\) है, तो \(160 S\) बराबर है ........ |

यदि समीकरणों \(a x^{2}+ b x+ c =0\), \(( a , b , c \in R , a \neq 0)\) तथा \(2 x^{2}+3 x+4=0\) का एक मूल उभयनिष्ट है, तो \(a: b: c\) बराबर है

प्रथम चतुर्थाश में वक्र \(y=\sqrt{x}, 2 y-x+3=0, x-\) अक्ष द्वारा घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल है

निम्न समीकरण निकाय पर विचार कीजिए : \(x+2 y-3 z=a\) ; \(2 x+6 y-11 z=b\) ; \(x-2 y+7 z=c\) जहाँ \(a , b\) तथा \(c\) वास्तविक अचर हैं। तो इस समीकरण निकाय:

माना अवकलन समीकरणों \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+\mathrm{ax}=0\) तथा \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}+\mathrm{by}=0, \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}\) के हल क्रमश: \(\mathrm{x}=\mathrm{x}(\mathrm{t})\) तथा \(\mathrm{y}=\mathrm{y}(\mathrm{t})\) हैं। यदि \(\mathrm{x}(0)=2 ; \mathrm{y}(0)=1\) तथा \(3 y(1)=2 x(1)\) हैं, तो \(t\) का मान, जिसके लिये \(\mathrm{x}(\mathrm{t})=\mathrm{y}(\mathrm{t})\) हैं, वह ........... होगा।

यदि \(6,4, a, 8, b, 12,10\), 13 का माध्य और प्रसरण क्रमशः 9 और 9.25 हैं, तो \(a+b+a b\) = __________

मान लीजिए कि [t] महत्तम पूर्णांक फलन को निरूपित करता है, जो t से कम या t के बराबर है। यदि फलन
\(f(x)=\left\{\begin{array}{cl}b^2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\left[\frac{\pi}{2}(\cos x+\sin x) \cos x\right]\right), & x<0 \\ \frac{\sin x-\frac{1}{2} \sin 2 x}{x^3} & , x>0 \\ a & , x=0\end{array}\right.\)
\(x =0\) पर संतत है, तो \(a ^2+ b ^2\) का मान ___ है।

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

दो रेखाएँ \(\quad \frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-6}{-1}\) तथा \(\frac{ x +5}{7}=\frac{ y -2}{-6}=\frac{ z -3}{4}\) एक दूसरे को बिन्दु \(R\) पर प्रतिच्छेद करते है। बिन्दु \(R\) के \(xy\) तल में प्रतिबिंब के निर्देशांक हैं 

माना दीर्घवृत्त \(3 x^2+\mathrm{py}^2=4\) वृत्त \(x^2+y^2-2 x-4 y-11=0\) के केंद्र \(C\) से होकर गुजरता है जिसकी त्रिज्या \(r\) है। माना \(f_1, f_2\) दीर्घवृत्त पर बिंदु C की नाभिकीय दूरियाँ हैं। तब \(6 f_1 f_2-r\) = __________

माना \(\overrightarrow{ a }=3 \hat{ i }+2 \hat{ j }+2 \hat{ k }\) तथा \(\overrightarrow{ b }=\hat{ i }+2 \hat{ j }-2 \hat{ k }\) दो सदिश हैं। यदि दोनों सदिशों \(\vec{a}+\vec{b}\) तथा \(\vec{a}-\vec{b}\) के लम्बवत एक सदिश का परिमाण 12 है, तो एक ऐसा सदिश है