समाकलन \(\int \frac{1}{\sqrt[4]{( x -1)^{3}( x +2)^{5}}} dx\) का बराबर है : (जहाँ \(C\) एक समाकलन अचर है)

मान लीजिए कि एक वृत्त का चाप \(A C\) केंद्र \(O\) पर समकोण अंतरित करता है। यदि चाप \(A C\) पर बिंदु \(B\), चाप \(A C\) को इस प्रकार विभाजित करता है कि \(\frac{\text { length of } \operatorname{arc} A B}{\text { length of } \operatorname{arc} B C}=\frac{1}{5}\), और \(\overrightarrow{O C}=\alpha \overrightarrow{O A}+\beta \overrightarrow{O B}\), तो \(\alpha+\sqrt{2}(\sqrt{3}-1) \beta\) = ___ है।

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

समीकरण \(x ^{3}-2 x ^{2}+2 x -1=0\) के मूलों की 162 वीं घातों का योगफल ............. है |

समाकल \(\int \frac{3 x ^{13}+2 x ^{11}}{\left(2 x ^{4}+3 x ^{2}+1\right)^{4}} dx\) होगा : (जहाँ \(C\) समाकलन अचर है)

योगफल \(\sum_{n=1}^{21} \frac{3}{(4 n-1)(4 n+3)}\) बराबर है

मान लीजिए कि \(A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{39}\), संख्याओं \(59\) और \(159\) के बीच 39 समांतर माध्य हैं। तब \(A_{25}, A_{28}, A_{31}\) और \(A_{36}\) का माध्य किसके बराबर है :

माना एक त्रिभुज \(\mathrm{ABC}\) के लिए, \( \overrightarrow{A B}=-2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k} \) \( \overrightarrow{C B}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k} \) \( \overrightarrow{C A}=4 \hat{i}+3 \hat{j}+\delta \hat{k}\) है। यदि \(\delta>0\) है तथा त्रिभुज \(\mathrm{ABC}\) का क्षेत्रफल \(5 \sqrt{6}\) है, तो \(\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}\) बराबर है :

माना बिंदुओं \((-1,0),(0,1)\) तथा \((1,0)\) से होकर जाने वाला परवलय \(y=p(x)\) है। यदि क्षेत्र \(\left\{(x, y):(x+1)^2+(y-1)^2 \leq 1, y \leq p(x)\right\}\) का क्षेत्रफल \(\mathrm{A}\) है, तो \(12(\pi-4 \mathrm{~A})\) बराबर है____________.

माना \(A =\{ a , b , c \}\) तथा \(B =\{1,2,3,4\}\) हैं, तो समुच्चय \(C =\{ f : A \rightarrow B \mid 2 \in f ( A )\) तथा \(f\) एकैकी नहीं है \(\}\) के अवयवों की संख्या है

बिंदु \((6,1,5)\) के रेखा \(\frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{4}\) में प्रतिबिंब की मूल बिंदु से दूरी का वर्ग ........... है।

MATHS शब्द के अक्षरों का प्रयोग करके बनाए जा सकने वाले 6-अक्षरों के अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की संख्या, इस प्रकार कि शब्द में आने वाला कोई भी अक्षर कम से कम दो बार आना चाहिए, वह _______ है।

क्षेत्र \(\left\{(x, y):|x-1| \leq y \leq \sqrt{5-x^2}\right\}\) का क्षेत्रफल बराबर है: