वृत्त C का केंद्र दीर्घवृत्त \(E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a \gt b\) के केंद्र पर है। माना C, E के नाभियों \(F_1\) और \(F_2\) से होकर गुजरता है इस प्रकार कि वृत्त C और दीर्घवृत्त E चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। माना P इन चार बिंदुओं में से एक है। यदि त्रिभुज \(\mathrm{PF}_1 \mathrm{~F}_2\) का क्षेत्रफल 30 है और E के दीर्घ अक्ष की लंबाई 17 है, तो E की नाभियों के बीच की दूरी क्या है?

Apply the relevant identity from the chapter and substitute the values established in the previous step, keeping the original constraint in view.

Use the simplified expression to isolate the unknown, then plug the result back into the question setup to confirm the working is internally consistent.

Cross-check against a boundary or limiting case. Both the dimensional balance and the qualitative behaviour at the extreme should agree with the candidate answer.

Combine the steps above to identify the correct option. The remaining choices each fail at least one of the consistency, dimensional, or boundary checks.