\(n \in N\) के लिए. माना \(S _{ n }=\left\{ z \in C :| z -3+2 i |=\frac{ n }{4}\right\}\) तथा \(T _{ n }=\left\{ z \in C :| z -2+3 i |=\frac{1}{ n }\right\}\). हैं। तो समुच्चय \(\left\{ n \in N : S _{ n } \cap T _{ n }=\phi\right\}\) में अवयवों की संख्या है :

\(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}(\frac{k(k+1)}{k!})\) का मान ___ है।

\(a , b , c ( a < b < c )\) त्रिज्याओं वाले तीन वृत्त परस्पर बाह्य स्पर्श करते हैं। यदि \(x\) -अक्ष उनकी एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है, तो :

चार व्यक्तियों के एक लक्ष्य पर ठीक प्रकार से प्रहार करने की प्रायिकताए क्रमश: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\) तथा \(\frac{1}{8}\) हैं। यदि सभी इस लक्ष्य पर स्वतंत्र रूप से प्रहार करते हैं, तो लक्ष्य पर आघात होने की प्रायिकता है :

माना \(A =\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\) तथा \(B =\left[\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right] \neq\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right]\) हैं, जिनके लिए \(AB = B\) तथा \(a + d =2021\) हैं, तो \(ad - bc\) का मान बराबर है ........... |

यदि \(\alpha\) के न्यूनतम तथा अधिकतम वास्तविक मान, जिनके लिए समीकरण \(z +\alpha| z -1|+2 i=0( z \in C\) तथा \(i=\sqrt{-1}\) ) का हल है, क्रमश: \(p\) तथा \(q\) हैं, तो \(4\left( p ^{2}+ q ^{2}\right)\) बराबर ............... है  |

यदि \(\tan A=\frac{1}{\sqrt{x\left(x^2+x+1\right)}}, \tan B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}\) तथा \(\tan \mathrm{C}=\left(\mathrm{x}^{-3}+\mathrm{x}^{-2}+\mathrm{x}^{-1}\right)^{\frac{1}{2}}, 0<\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}<\frac{\pi}{2}\) है, तो \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\) = ...........

माना तीन अशून्य सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=0\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}}{2}\) है। यदि सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}\) हो, तो \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})\) बराबर है

दस पदों के अनुक्रमों की संख्या, जिनके पद या तो 0 या 1 या 2 हैं, जिनमें ठीक पाँच 1 और ठीक तीन 2 = __________

यदि \(\sin\left(\dfrac{\pi}{18}\right) \sin\left(\dfrac{5\pi}{18}\right) \sin\left(\dfrac{7\pi}{18}\right) = K\) है, तो \(\sin\left(\dfrac{10K\pi}{3}\right)\) का मान है :

पाँच प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः \(4\) तथा \(5.20\) है। यदि तीन प्रेक्षण \(3,4\) तथा \(4\) हो, तो अन्य दो प्रेक्षणों के अन्तर का निरपेक्ष मान होगा

रैखिक समीकरण निकाय \(x + \lambda y - z = 0\) \(\lambda x - y - z = 0\) \(x + y - \lambda z = 0\) का एक अतुच्छ हल होने के लिए:

समीकरण \(\left|\begin{array}{ccc}x & -6 & -1 \\ 2 & -3 x & x-3 \\ -3 & 2 x & x+2\end{array}\right|=0\), के वास्तविक मूलों का योगफल है