\(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}(\frac{k(k+1)}{k!})\) का मान ___ है।

माना \(A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) कुछ \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) के लिए \(A^2 + \alpha(adj(adj(A))) + \beta(adj(A)(adj(adj(A)))) = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\) को संतुष्ट करता है। तो \((\alpha - \beta)^2\) बराबर है _______

मान लीजिए एक चर रेखा वृत्त \(x^2+y^2-16 x-4 y=0\) के केंद्र से होकर गुजरती है, जो धनात्मक निर्देशांक अक्षों को बिंदु \(\mathrm{A}\) और \(\mathrm{B}\) पर मिलती है। तो \(\mathrm{OA}+\mathrm{OB}\) का न्यूनतम मान, जहाँ \(\mathrm{O}\) मूल बिंदु है, वह ........... है।

\( (1+x^{2})^{2}(1+x)^{n} \) के प्रसार में \(x\), \( x^{2} \) और \( x^{3} \) के गुणांक समांतर श्रेढ़ी में हों, तो \( n \in N \) के सभी संभावित मानों का योग ___ है।

\(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right)^{1 / x}\) बराबर है -

मान लीजिए कि बिंदु \(P(3,2,1)\) का रेखा \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}\) में प्रतिबिंब \(Q(a,b,c)\) है। तो Q की रेखा \(\frac{x-9}{3}=\frac{y-9}{2}=\frac{z-5}{-2}\) से दूरी ___ है।

शीर्षों \(\mathrm{A}(2,1,1), \mathrm{B}(1,2,5), \mathrm{C}(-2,-3,5)\) तथा \(\mathrm{D}(1,-6,-7)\) के चतुर्भुज \(\mathrm{ABCD}\) का क्षेत्रफल है

यदि फलन \(f(x)=\cos ^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right)+\left(\log _e(3-x)\right)^{-1}\) का प्राँत \([-\alpha, \beta)-\{y\}\) है, तो \(\alpha+\beta+\gamma\) = ...........

माना \(f_{k}(x)=\frac{1}{k}\left(\sin ^{k} x+\cos ^{k} x\right)\) है, जहाँ \(x \in R\) तथा \(k \geq 1\) है, तो \(f_{4}(x)-f_{6}(x)\) बराबर है:

माना तीन सदिश \(\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ b }\) तथा \(\overrightarrow{ c }\) इस प्रकार हैं कि \(|\overrightarrow{ a }|=\sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{ b }|=5, \overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }=10\) तथा \(\overrightarrow{ b }\) और \(\overrightarrow{ c }\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{3}\) है। यदि \(\overrightarrow{ a }\), सदिश \(\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ c }\) पर लम्बवत् है, तो \(|\overrightarrow{ a } \times(\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ c })|\) बराबर है

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?

मान लीजिए कि \(X=\mathbf{R} \times \mathbf{R}\)। \(X\) पर एक संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है:
\(\left(a_1, b_1\right) R\left(a_2, b_2\right) \Leftrightarrow b_1=b_2\)

कथन I : \(\quad \mathrm{R}\) एक तुल्यता संबंध है।
कथन II : कुछ \((a, b) \in X\) के लिए, समुच्चय \(S=\{(x, y) \in X:(x, y) R(a, b)\}\) रेखा \(y=x\) के समानांतर एक रेखा को निरूपित करता है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :

माना \(y = y ( x )\), समीकरण \(\frac{ dy }{ dx }-| A |=0, \forall x >0\), को संतुष्ट करता है, जबकि \(A =\left[\begin{array}{ccc} y & \sin x & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & \frac{1}{ x }\end{array}\right]\) है। यदि \(y (\pi)=\pi+2\) है, तो \(y \left(\frac{\pi}{2}\right)\) बराबर है