माना \(S=\left\{\theta \in(0,2 \pi): 7 \cos ^2 \theta-3 \sin ^2 \theta-2\right.\) \(\left.\cos ^2 2 \theta=2\right\}\) है। तब सभी समीकरणों \(x ^2-2\left(\tan ^2 \theta+\cot ^2 \theta\right) x +6 \sin ^2 \theta=0, \theta \in S\) के मूलों का योग है \(..............\)

माना वृत्त \(C\), बिन्दु \(A (2,-1)\) तथा \(B (3,4)\) से गुजरता है। रेखाखण्ड \(AB\), वृत्त \(C\) का व्यास नहीं है। यदि वृत्त \(C\) की त्रिज्या \(r\) तथा इसका केन्द्र, वृत्त \(( x -5)^2+( y -1)^2=\frac{13}{2}\) पर स्थित है, तो \(r ^2\) बराबर है :

माना \( (2\alpha, \alpha) \) वह बृहत्तम अंतराल है जिसमें फलन \( f(t)=\frac{|t+1|}{t^{2}}, t<0 \) निरंतर ह्रासमान है। तब फलन \( g(x)=2\log_{e}(x-2)+\alpha x^{2}+4x-\alpha, x>2 \) का स्थानीय उच्चतम मान ___ है।

यदि \(a=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{2 n}{n^2+k^2}\) तथा \(f(x)=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}, x \in(0,1)\) है, तो :

\(\sum_{ r =0}^{20}{ }^{50- r } C _{6}\) का मान होगा

यदि \(0 \le x \le \pi \) तब \({81^{{{\sin }^2}x}} + {81^{{{\cos }^2}x}} = 30\) है, तो \(x\) का मान है

माना \([\alpha]\) महत्तम पूर्णांक \(\leq \alpha\) है। तो \([\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\ldots .+[\sqrt{120}]\) बराबर है_________.

सदिश \(2 \hat{ i }+3 \hat{ j }+\hat{ k }\) के सदिशों \(\hat{ i }+\hat{ j }+\hat{ k }\) तथा \(\hat{ i }+2 \hat{ j }+3 \hat{ k }\) को अंतर्विष्ट करने वाले समतल के लंबवर्तीय सदिश पर प्रक्षेप का परिमाण है

समुच्चय \(A\) में \(m\) अवयव हैं तथा समुच्चय \(B\) में \(n\) अवयव हैं। यदि \(A\) के सभी उपसमुच्चयों की संख्या, \(B\) के सभी उपसमुच्चयों की संख्या से \(112\) अधिक है, तो \(m.n\) का मान है

\(20\) प्रेक्षणों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: \(10\) तथा \(2.5\) निकाले गये। यह पाया गया कि गलती से एक आंकड़ा \(35\) की जगह \(25\) लिया गया था। यदि सही आकड़ों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः \(\alpha\) तथा \(\sqrt{\beta}\) हैं, तो \((\alpha, \beta)\) है

माना एक फलन \(f :[0,1] \rightarrow R\), अंतराल \((0,1)\) में दो बार अवकलनीय है तथा \(f (0)=3, f (1)=5\) हैं। यदि रेखा \(y =2 x +3, f\) के ग्राफ को \((0,1)\) में केवल दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है, तो बिंदुओं \(x \in(0,1)\) की न्यूनतम संख्या, जिन पर \(f ^{\prime \prime}( x )=0\) हैं, है \(.........\)

माना \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{\sqrt{n^4+1}}-\frac{2 n}{\left(n^2+1\right) \sqrt{n^4+1}}+\frac{n}{\sqrt{n^4+16}}-\frac{8 n}{\left(n^2+4\right) \sqrt{n^4+16}}\right. \) \( \left.+\ldots \ldots+\frac{n}{\sqrt{n^4+n^4}}-\frac{2 n \cdot n^2}{\left(n^2+n^2\right) \sqrt{n^4+n^4}}\right) \text { be } \frac{\pi}{k},\) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल मुख्य मानों का उपयोग करते हुए। तब \(\mathrm{k}^2\) = ...........

माना \(\vec{a}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\)। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) एक सदिश इस प्रकार है कि \(\vec{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\), \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \vec{a}|^2=8\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{4}\) है, तो \(|10-3 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}|+|\overrightarrow{\mathrm{d}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2\) = ___