माना \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\) एक फलन है जो इस प्रकार है कि \(f(x) + 3f\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\), \(x \in \mathbf{R}\). माना \(\mathbf{R}\) पर \(f\) का अधिकतम मान \(\alpha\) है। यदि वक्रों \(g(x) = x^2\) और \(h(x) = \beta x^3\), \(\beta > 0\), से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल \(\alpha^2\) है, तो \(30\beta^3\) बराबर है _______।

मान लीजिए \(x\) और \(y\) वास्तविक संख्याएँ हैं इस प्रकार कि \(50\left(\dfrac{2x}{1+3i} - \dfrac{y}{1-2i}\right) = 31 + 17i\), \(i = \sqrt{-1}\). तो \(10(x - 3y)\) का मान है :

\(t \in \mathbb{R}\) के सभी मानों जिनके लिए आव्यूह \(\left[\begin{array}{ccc}e^t & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) & e^{-t}(-2 \sin t-\cos t) \\e^t & e^{-t}(2 \sin t+\cos t) & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) \\e^t & e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t \end{array}\right]\) व्युतक्रमणीय है, का समुच्यय है।

माना \(B=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & \alpha \\ 1 & 2 & 3 \\ \alpha & \alpha & 4\end{array}\right], \alpha>2\), एक आव्यूह \(A\) का सहखंडज है तथा \(|\mathrm{A}|=2\) है। तो \([\alpha-2 \alpha \alpha] \mathrm{B}\left[\begin{array}{c}\alpha \\ -2 \alpha \\ \alpha\end{array}\right]\) बराबर है :-

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

कथन \(I\) : समीकरण \(\left(\sin ^{-1} x\right)^{3}+\left(\cos ^{-1} x\right)^{3}- a \pi^{3}=0\) का सभी \(a \geqslant \frac{1}{32}\) के लिए एक हल है। कथन \(II\) : किसी \(x \in R\) के लिए \(\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\) तथा \(0 \leq\left(\sin ^{-1} x-\frac{\pi}{4}\right)^{2} \leq \frac{9 \pi^{2}}{16}\).

यदि सदिशों \(\hat{ i }+\lambda \hat{ j }+\hat{ k }, \hat{ j }+\lambda \hat{ k }\) तथा \(\lambda \hat{ i }+\hat{ k }\) द्वारा बनाये गये समान्तर षट्फलक (parallelopiped) का आयतन न्यूनतम है, तो \(\lambda\) बराबर है

यदि वृत्त \((\mathrm{x}-3)^2+\mathrm{y}^2=2\) के बाहर, वक्र \(2 \mathrm{y}^2=3 \mathrm{x}\) तथा रेखाओं \(\mathrm{x}+\mathrm{y}=3, \mathrm{y}=0\) से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल \(\mathrm{A}\) है, तो \(4(\pi+4 \mathrm{~A})\) बराबर है :

यदि \(\sum_{ r =1}^{50} \tan ^{-1} \frac{1}{2 r ^{2}}= p\) है, तो \(\tan p\) का मान है -

यदि वृत \(x^2+y^2-2 g x+6 y-19 c=0, g, c \in R\) बिंदु \((6,1)\) से होकर जाता है तथा इसका केन्द्र रेखा \(x -2 cy =8\), पर है, तो वृत्त द्वारा \(x\)-अक्ष पर बनाए गए अंतः खंड की लंबाई है-

माना सभी फलनों \(f:[0,1] \rightarrow R\), जो कि \([0,1]\) पर संतत हैं तथा \((0,1)\) पर अवकलनीय हैं, का समुच्चय \(S\) हैं। तो \(S\) में प्रत्येक \(f\) के लिए \(f\) पर निर्भर एक \(c \in(0,1)\) का अस्तित्व इस प्रकार है कि

माना दो बिदु \(A (1,4)\) तथा \(B (1,-5)\) है। माना वत्त \(( x -1)^{2}+( y -1)^{2}=1\) पर \(P\) एक बिंदु है. जिसके लिए \(( PA )^{2}+( PB )^{2}\) का मान अधिकतम है, तो बिन्दु \(P , A\) तथा \(B\) निम्न में से किस पर स्थित है ?

\(5\) प्रेक्षणों का माध्य एवं प्रसरण क्रमशः \(5\) एवं \(8\) हैं। यदि तीन प्रेक्षण \(1,3,5\) हैं, तब शेष दो प्रेक्षणों के घनों का योग है-