माना एक समान्तर षट्फलक, जिसके एक ही शीर्ष से होकर जाने वाले किनारे \(\overrightarrow{ u }=\hat{ i }+\hat{ j }+\lambda \hat{ k }, \quad \overrightarrow{ v }=\hat{ i }+\hat{ j }+3 \hat{ k }\) तथा \(\overrightarrow{ w }=2 \hat{ i }+\hat{ j }+\hat{ k }\) द्वारा प्रदत्त हैं, का आयतन 1 घन इकाई है। यदि किनारों \(\overrightarrow{ u }\) तथा \(\overrightarrow{ w }\) के बीच का कोण \(\theta\) है, तो \(\cos \theta\) हो सकता है 

\(p >0\) के लिए, सदिश \(\overrightarrow{ v }_{1}=\sqrt{3} p \hat{ i }+\hat{ j }\) को केन्द्रबिन्दु के गिर्द वामावर्त दिशा में कोण \(\theta\) से आवर्तित करने पर सदिश \(\overrightarrow{ v }_{2}=2 \hat{ i }+( p +1) \hat{ j }\) प्राप्त होता है। यदि \(\tan \theta=\frac{(\alpha \sqrt{3}-2)}{(4 \sqrt{3}+3)}\) है, तो \(\alpha\) का मान बराबर है ......... |

मान लीजिए \(O\) मूल-बिंदु है, बिंदु \(A\) \(z_1=\sqrt{3}+2 \sqrt{2} i\) है, बिंदु \(B\left(z_2\right)\) इस प्रकार है कि \(\sqrt{3}\left|z_2\right|=\left|z_1\right|\) और \(\arg \left(z_2\right)=\arg \left(z_1\right)+\frac{\pi}{6}\)। तब,

\(\lim _{x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin \left(\cos ^{-1} x\right)-x}{1-\tan \left(\cos ^{-1} x\right)}\) बराबर है

\(\mathrm{x} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) के लिए यद \(y(x)=\int \frac{\operatorname{cosec} x+\sin x}{\operatorname{cosec} x \sec x+\tan x \sin ^2 x} d x\) है तथा \(\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} y(x)=0\) है, तो \(y\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = ...........

रेखा \(x = y\) एक वृत्त को बिन्दु \((1,1)\) पर स्पर्श करती है। यदि यह वृत्त बिन्दु \((1,-3)\) से भी होकर जाता है, तो इसकी त्रिज्या है

एक खेल में दो खिलाड़ी \(A\) तथा \(B\) बारी बारी से अनभिनत पासों के युग्म को फेंकते हैं, जबकि खिलाड़ी \(A\) खेल आरम्भ करता है, तथा प्रत्येक बार दोनों पासों पर आए अंकों का योग नोट किया जाता है यदि \(B\) द्वारा फेंके गए पासों के अंको का योग \(7\) आने से पहले \(A\) द्वारा फेंके एक पासों के अंकों का योग \(6\) आ जाता है, तो \(A\) जीतता है जबकि \(A\) द्वारा फेंके गए पासों के अंकों का योग \(6\) आने से पहले, \(B\) द्वारा फेंके गए पासों के अंकों का योग \(7\) आ जाता है, तो \(B\) जीतता है। किसी भी एक खिलाड़ी का जीतने पर खेल समाप्त हो जाता है। \(A\) के खेल को जीतने की प्रायिक्रता है 

मान लीजिए \(A=\{2,3,6,7\}\) और \(B=\{4,5,6,8\}\). मान लीजिए \(R\) एक संबंध है जो A \(\times\) B पर इस प्रकार परिभाषित है कि \(\left(a_1, b_1\right) R\left(a_2, b_2\right)\) यदि और केवल यदि \(a_1+a_2=b_1+b_2\). तब \(\mathrm{R}\) में अवयवों की संख्या ........... है।

माना P एक परवलय है, जिसकी नाभि \((-2,1)\) है और नियता \(2 x+y+2=0\) है। तो P पर उन बिंदुओं की कोटियों का योग, जिनका भुज -2 है, वह __________ होगा।

माना \(f(x)=2 x+\tan ^{-1} x\) एवं \(g(x)=\log _e\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)\), \(x \in[0,3]\) हैं। तब

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

माना \(i =\sqrt{-1}\) है यदि \(\frac{(-1+i \sqrt{3})^{21}}{(1-i)^{24}}+\frac{(1+i \sqrt{3})^{21}}{(1+i)^{24}}=k\) है, तथा \(n =[| k |],| k |\) का महत्तम पूर्णांक भाग है, तो \(\sum_{j=0}^{n+5}(j+5)^{2}-\sum_{j=0}^{n+5}(j+5)\) बराबर है 

\(\operatorname{cosec}\left[2 \cot ^{-1}(5)+\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\right]\) बराबर है