माना अतिपरवलय \(\mathrm{H}\) की नाभियाँ \(\mathrm{A}(1 \pm \sqrt{2}, 0)\) तथा उत्केन्द्रता \(\sqrt{2}\) है। तो \(\mathrm{H}\) की नाभिलंब जीवा की लंबाई है :

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

माना रेखा \(\ell: \mathrm{x}=\frac{1-\mathrm{y}}{-2}=\frac{\mathrm{z}-3}{\lambda}, \lambda \in \mathbb{R}\) समतल \(P: x+2 y+3 z=4\) को बिंदु \((\alpha, \beta, \gamma)\) पर मिलती है। यदि रेखा \(\ell\) तथा समतल \(\mathrm{P}\) के बीच का कोण \(\cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)\) है, तो \(\alpha+2 \beta+6 \gamma\) बराबर है

यदि \(A=\left[\begin{array}{cc}5 a & -b \\ 3 & 2\end{array}\right]\) तथा \(A \operatorname{adj} A=A A^{T}\) हैं, तो \(5 a+b\) बराबर है:

वक्रो \(y=x^{2}-1\) तथा \(y=1-x^{2}\) द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है 

समाकलन \(\int \frac{(2 x -1) \cos \sqrt{(2 x -1)^{2}+5}}{\sqrt{4 x ^{2}-4 x +6}} dx\) बराबर है : (जहाँ \(c\) एक समाकलन अचर है)

एक \(GP\) का चौथा पद \(500\) है तथा इसका सार्व अनुपात \(\frac{1}{\mathrm{~m}}, \mathrm{~m} \in \mathrm{N}\) है। माना इस \(GP\) के प्रथम \(\mathrm{n}\) पदों का योग \(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}\) है। यदि \(\mathrm{S}_6>\mathrm{S}_5+1\) तथा \(\mathrm{S}_7<\mathrm{S}_6+\frac{1}{2}\) है, तो \(\mathrm{m}\) के संभव मानों की संख्या है______________. 

यदि अवकल समीकरण \(x \frac{ dy }{d x }+2 y = xe ^{ x }, y (1)=0\) का हल \(y = y ( x )\) हो तो फलन \(z ( x )= x ^2 y ( x )- e ^{ x }\), \(x \in R\) का स्थानीय उच्चिष्ट का मान होगा :

माना \(f( x )=\left(\sin \left(\tan ^{-1} x \right)+\sin \left(\cot ^{-1} x \right)\right)^{2}-1,| x |>1\) है। यदि \(\frac{ dy }{ dx }=\frac{1}{2} \frac{ d }{ dx }\left(\sin ^{-1}(f( x ))\right)\) तथा \(y (\sqrt{3})=\frac{\pi}{6}\) है, तो \(y (-\sqrt{3})\) का मान है 

वृत्त \((x-2 \sqrt{3})^2+y^2=12\) के अंदर और परवलय \(y^2=2 \sqrt{3} x\) के बाहर स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

यदि \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^2 x}{1+\sin x \cos x} d x=\frac{1}{a} \log _e\left(\frac{a}{3}\right)+\frac{\pi}{b \sqrt{3}}\), जहाँ a, \(\mathrm{b} \in \mathrm{N}\), तो \(\mathrm{a}+\mathrm{b}\) का मान ........... है।

माना \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}\) है। तब आव्यूह \(\text{adj}(\text{adj}(2(\text{adj}A)^{-1}))\) के सभी अवयवों का योग बराबर है:

आंकड़े जिनमें \(x\) के मानों \(0,2,4,8, \ldots, 2^{ n }\) की बारंबारता क्रमश: \({ }^{n} C_{0},{ }^{n} C_{1},{ }^{n} C_{2}, \ldots,{ }^{n} C_{n}\) है, पर विचार कीजिए। यदि इन आंकड़ों का माध्य \(\frac{728}{2^{ n }}\) है, तो \(n\) बराबर है