माना \(\mathrm{A}=\{-4,-3,-2,0,1,3,4\}\) है तथा \(\mathrm{A}\) पर एक संबंध \(\mathrm{R}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \in \mathrm{A} \times \mathrm{A}: \mathrm{b}=|\mathrm{a}|\) या \(\left.b^2=a+1\right\}\) है। तो संबंध \(R\) में कम से कम कितने अवयव जोड़े जाएं, जिससे कि यह स्वतुल्य तथा सममित हो जाए ?_______________.

यदि फलन \(f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{5-x}{3+2 x}\right)+\frac{1}{log _e (10-x)}\) का प्रांत \((-\infty, \alpha]\)\(\cup[\beta, \gamma)-\{\delta\}\) है, तो \(6(\alpha+\beta+\gamma+\delta)\) = ___ है।

यदि वक्र \(x=4 t^{2}+3, y=8 t^{3}-1, t \in R\) के बिंदु \(P\), \(t\) प्राचल के साथ, पर स्पर्श रेखा, वक्र को दुबारा बिंदु \(Q\) पर मिलती है, तो \(Q\) के निर्देशांक हैं

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

माना \(\mathrm{S}=\{1,2,3,5,7,10,11\}\) है। \(\mathrm{S}\) के अरिक्त उपसमुच्चयों, जिनके सभी अवयवों का योग \(3\) का एक गुणज है, की संख्या है__________. 

माना \(f(x)=x^2+9, g(x)=\frac{x}{x-9}\) और \(\mathrm{a}=\mathrm{fog}(10), \mathrm{b}=\operatorname{gof}(3)\)। यदि \(\mathrm{e}\) और \(1\) दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1\) की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई को निरूपित करते हैं, तो \(8 e^2+1^2\) ........... है।

परवलय \(y ^{2}=6 x\) पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है जो रेखा \(2 x + y =1\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौन सा बिंदु इस पर स्थित नहीं है?

यदि दो सदिशों \(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}\) तथा \(-\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) के योग पर सदिश \(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\) का प्रक्षेप 1 है, तो \(\lambda\) बराबर है ...............

यदि \(y = y ( x )\) अवकलनीय समीकरण \(2 x ^2 \frac{d y}{d x}-2 x y+3 y^2=0\) का हल इस प्रकार है कि \(y ( e )=\frac{ e }{3}\) तब \(y (1)\) बराबर होगा-

\(\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\ldots \ldots .+\frac{n}{(2 n-1)^{2}}\right]\) बराबर है

माना \(y = y ( x )\), अवकल समीकरण \(e^{y} \frac{d y}{d x}-2 e^{y} \sin x+\sin x \cos ^{2} x=0, y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\) का हल है। यदि \(y (0)=\log _{ e }\left(\alpha+\beta e ^{-2}\right)\) है, तो \(4(\alpha+\beta)\) बराबर है ....... |

यदि \((1 + \alpha x)^{26}\) और \((1 - \alpha x)^{28}\) के द्विपद प्रसरणों में मध्य पदों के गुणांक, \(\alpha \neq 0\) होने पर, समान हैं, तो \(\alpha\) का मान है:

माना एक फलन \(f: R \rightarrow R\) \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\int_0^x(5-|t-3|) d t, & x>4 \\ x^2+b x, & x \leq 4\end{array}\right.\) जहाँ \(b \in R\) है, द्वारा परिभाषित है। यदि \(x =4\) पर \(f\) संतत है, तो निम्न में से कौन सा कथन सहीं है?