माना \(6\) प्रेक्षणों \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, 68,44,48,60\) के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः \(55\) तथा \(194\) हैं। यदि \(\mathrm{a}>\mathrm{b}\) है। तो \(\mathrm{a}+3 \mathrm{~b}\) = ...........

समाकल \(\int \limits_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{8 \cos 2 x}{(\tan x+\cot x)^{3}} d x\) बराबर है

दो समान्तर श्रेणीयों \(3,7,11, \ldots .407\) एवं \(2,9,16, \ldots .709\) में उभयनिष्ठ पदों की संख्या है।

माना \(\vec{a}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\)। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) एक सदिश इस प्रकार है कि \(\vec{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\), \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \vec{a}|^2=8\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{4}\) है, तो \(|10-3 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}|+|\overrightarrow{\mathrm{d}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2\) = ___

यदि एक त्रिभुज \(ABC\) की तीन भुजाओं \(AB , BC\) तथा \(CA\) पर क्रमशः \(3,5\) तथा \(6\) आंतरिक बिंदु हैं, तो इन बिंदुओं को शीर्ष लेकर बनाये जा सकने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या है

\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1^2-1\right)(n-1)+\left(2^2-2\right)(n-2)+\ldots .+\left((n-1)^2-(n-1)\right) \cdot 1}{\left(1^3+2^3+\ldots .+n^3\right)-\left(1^2+2^2+\ldots . .+n^2\right)}\) = ...........

मान लीजिए \(A\) एक \(3 \times 3\) क्रम का आव्यूह है और \(|A|=5\)। यदि \(|2 \operatorname{adj}(3 \mathrm{~A} \operatorname{adj}(2 \mathrm{~A}))|=2^\alpha \cdot 3^\beta \cdot 5^\gamma \alpha, \beta, \gamma \in \mathrm{N}\) तो \(\alpha+\beta+\gamma\) = ___

माना कि एक अशून्य सम्मिश्र संख्या \(z = x + iy\) इस प्रकार है कि \(z ^{2}= i | z |^{2}\), जहाँ \(i =\sqrt{-1}\), तो \(z\) निम्न में से किस पर स्थित है

यदि \(\left(2 x ^{ I }+\frac{1}{ x ^{2}}\right)^{10}\) के द्विपद प्रसार में अचर पद \(180\) है तो \(r\) बराबर है ....... |

मान लीजिए कि 729, 81, 9, 1, .... एक अनुक्रम है और \( P_{n} \) इस अनुक्रम के पहले n पदों के गुणनफल को दर्शाता है। यदि \( 2\sum_{n=1}^{40}(P_{n})^{\frac{1}{n}}=\frac{3^{\alpha}-1}{3^{\beta}} \) और \( \gcd(\alpha,\beta)=1 \) है, तो \( \alpha+\beta \) = ___ है।

यदि \(3\) तथा \(243\) के बीच \(m\) समान्तर माध्य तथा तीन गुणोत्तर माध्य इस प्रकार डाले गए हैंकि चौथा समान्तर माध्य दूसरे गुणोत्तर माध्य के बराबर है, तो \(m\) बराबर है ।

यदि समीकरण निकाय
\(\begin{aligned} & (\lambda-1) x+(\lambda-4) y+\lambda z=5 \\ & \lambda x+(\lambda-1) y+(\lambda-4) z=7 \\ & (\lambda+1) x+(\lambda+2) y-(\lambda+2) z=9\end{aligned}\)
के अनंत हल हैं, तो \(\lambda^2+\lambda\) = ___

माना \(\overrightarrow{ a }=2 \hat{ i }+\lambda_{1} \hat{ j }+3 \hat{ k }, \quad \overrightarrow{ b }=4 \hat{ i }+\left(3-\lambda_{2}\right) \hat{ j }+6 \hat{ k }\) तथा \(\overrightarrow{ c }=3 \hat{ i }+6 \hat{ j }+\left(\lambda_{3}-1\right) \hat{ k }\) तीन ऐसे सदिश है कि \(\overrightarrow{ b }=2 \overrightarrow{ a }\) है तथा सदिश \(\overrightarrow{ a }\), सदिश \(\overrightarrow{ c }\) के लम्बवत् हैं, तो \(\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)\) का एक संभावित मान है