\(\triangle ABC\) के शीर्ष \(B\) तथा \(C\) रेखा \(\frac{ x +2}{3}=\frac{ y -1}{0}=\frac{ z }{4}\) पर स्थित हैं तथा \(BC =5\) इकाई है। यदि दिया है कि बिन्दु \(A (1,-1,2)\) है, तो इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ( वर्ग इाकाइयों में) हैं

माना वृत्त \(C\) रेखा \(x-y+1=0\) को स्पर्श करता है, जिसका केंद्र धनात्मक x-अक्ष पर है, और रेखा \(-3 x+2 y=1\) पर \(\frac{4}{\sqrt{13}}\) लंबाई की जीवा काटता है। माना अतिपरवलय \(H\) \(\frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{y^2}{\beta^2}=1\) है, जिसकी एक नाभि \(C\) का केंद्र है और अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई \(C\) का व्यास है। तो \(2 \alpha^2+3 \beta^2\) = __________

यदि बिंदु \((1,1, \lambda)\) तथा \((-3,0,1)\) समतल \(3 x+4 y-12 z+13=0\) से समदूरस्थ हैं, तो \(\lambda\), निम्न समीकरण को संतुष्ट करता है

वक्र \(y=3 \sin \theta \cos \theta, x= e ^{\theta} \sin \theta\), \(0 \leq \theta \leq \pi\), के लिए स्पशरिखा \(x\)-अक्ष के समांतर है, जब \(\theta\) बराबर है

यदि \(\overrightarrow{ x }\) तथा \(\overrightarrow{ y }\) दो शून्येत्तर सदिश इस प्रकार हैं कि \(|\overrightarrow{ x }+\overrightarrow{ y }|=|\overrightarrow{ x }|\) और \(2 \overrightarrow{ x }+\lambda \overrightarrow{ y }\) सदिश \(\overrightarrow{ y }\), के लम्बवत है, तो \(\lambda\) का मान है

माना \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{\sqrt{n^4+1}}-\frac{2 n}{\left(n^2+1\right) \sqrt{n^4+1}}+\frac{n}{\sqrt{n^4+16}}-\frac{8 n}{\left(n^2+4\right) \sqrt{n^4+16}}\right. \) \( \left.+\ldots \ldots+\frac{n}{\sqrt{n^4+n^4}}-\frac{2 n \cdot n^2}{\left(n^2+n^2\right) \sqrt{n^4+n^4}}\right) \text { be } \frac{\pi}{k},\) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल मुख्य मानों का उपयोग करते हुए। तब \(\mathrm{k}^2\) = ...........

यदि \(\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=p\) है, तो \(96 \log _e p\) = __________

माना \(S_{1}: x^{2}+y^{2}=9\) तथा \(S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=1\) हैं। तो एक चर वत्त \(S\), जो \(S _{1}\) को अंदर से स्पर्श करता है तथा \(S _{2}\) को बाहर से स्पर्श करता है, के केन्द्र का बिंदुपथ हमेशा निम्न में से किन बिंदुओं से होकर जाता है?

यदि \(\int \limits_0^2\left(\sqrt{2 x}-\sqrt{2 x-x^2}\right) d x=\) \(\int \limits_0^1\left(1-\sqrt{1-y^2}-\frac{y^2}{2}\right) d y+\int \limits_1^2\left(2-\frac{y^2}{2}\right) d y+I\) बराबर

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?

यदि क्षेत्र \(\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}): 0 \leq \mathrm{y} \leq \min \left\{2 \mathrm{x}, 6 \mathrm{x}-\mathrm{x}^2\right\}\right\}\) का क्षेत्रफल \(\mathrm{A}\) है, तो \(12 \mathrm{~A}\) = ...........

माना दीर्घवृत्त \(9 x^2+4 y^2=36\) पर चार बिंदु \(\mathrm{P}\left(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}}\right), \mathrm{Q}, \mathrm{R}\) तथा \(\mathrm{S}\) हैं। माना रेखाखंड \(\mathrm{PQ}\) तथा \(\mathrm{RS}\) परस्पर लंबवत है तथा मूलबिंदु से होकर जाते हैं। यदि \(\frac{1}{(\mathrm{PQ})^2}+\frac{1}{(\mathrm{RS})^2}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\), जहाँ \(\mathrm{p}\) तथा \(q\) असहभाज्य है, तो \(\mathrm{p}+\mathrm{q}\) बराबर है :

एक वृत जो \((1,-2)\) से होकर जाता है तथा \(x-\) अक्ष \((3,0)\) पर स्पर्श करता है, जिस अन्य बिन्दु से होकर जाता है, वह है