\(4-\) अंकों की संख्याओं जिनका \(54\) के साथ महत्तम ऊभयनिष्ठ भाजक \(2\) है की कुल संख्या है_____________. 

यदि \(\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ccc} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & - x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{array}\right|\) तथा \(\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ccc}x & \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \\ -\sin 2 \theta & -x & 1 \\ \cos 2 \theta & 1 & x\end{array}\right|, x \neq 0\); तो सभी \(\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) के लिए 

मान लीजिए कि M, कोटि \(3 \times 3\) के सभी वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय है और मान लीजिए कि \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\) है। मान लीजिए कि
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) और \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
यदि \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), तो \(\alpha\) = ___

यदि \(\sum_{ r =1}^{50} \tan ^{-1} \frac{1}{2 r ^{2}}= p\) है, तो \(\tan p\) का मान है -

माना दो सदिश \(\overrightarrow{ a }=\hat{ i }-2 \hat{ j }+\hat{ k }\) तथा \(\overrightarrow{ b }=\hat{ i }-\hat{ j }+\hat{ k }\) हैं। यदि एक सदिश \(\overrightarrow{ c }\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ c }=\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ a }\) तथा \(\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ a }=0\) हैं, तो \(\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ b }\) बराबर है 

दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन

\(x_i\)	\(5\)	\(7\)	\(9\)	\(10\)	\(12\)	\(15\)
\(f_i\)	\(8\)	\(6\)	\(2\)	\(2\)	\(2\)	\(6\)

बराबर है:

समीकरण \(\frac{\cos x }{1+\sin x }=|\tan 2 x |\), \(x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)-\left\{\frac{\pi}{4},-\frac{\pi}{4}\right\}\) के हलो का योग है

माना \(A =\left[\begin{array}{ll} x & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], x \in R\) तथा \(A ^{4}=\left[ a _{ ij }\right]\) है। यदि \(a _{11}\) \(=109\) है, तो \(a _{22}\) बराबर है |

यदि \(y = \tan^{-1}\left(\dfrac{3\cos x - 4\sin x}{4\cos x + 3\sin x}\right) + 2\tan^{-1}\left(\dfrac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)\) है, तो \(x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) पर \(\dfrac{dy}{dx}\) का मान होगा:

माना \(\mathrm{A}=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) और R, \(A\) पर एक संबंध है जिसे \(x R y\) द्वारा परिभाषित किया गया है यदि और केवल यदि \(2 x-y \in\{0,1\}\)। माना \(l\), R में अवयवों की संख्या है। माना \(m\) और \(n\) क्रमशः R को स्वतुल्य और सममित संबंध बनाने के लिए इसमें जोड़े जाने वाले अवयवों की न्यूनतम संख्या है। तो \(l+\mathrm{m} \mathrm{n}\) = ___

फलन \(f(x)=6+16 \cos x \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) \cdot \sin 3 x \cdot \cos 6 x, x \in \mathbf{R}\) का परास \([\alpha, \beta]\) मान लीजिए। तो बिंदु \((\alpha, \beta)\) की रेखा \(3 x+4 y+12=0\) से दूरी:

माना अतिपरवलय \(H : \frac{ x ^2}{ a ^2}-\frac{ y ^2}{ b ^2}=1\), बिंदु \((2 \sqrt{2},-2 \sqrt{2})\) से होकर जाता है। एक परवलय खींचा जाता है जिसकी नाभि, \(H\) की धनात्मक भुज वाली नाभि पर है तथा परवलय की नियता \(H\) की दूसरी नाभि से होकर जाती है। यदि परवलय की नाभि लंब जीवा की लंबाई, \(H\) की नाभि लंब जीवा की लंबाई का \(e\) गुना है, जहाँ \(e\), \(H\) की उत्केन्द्रता है, तो निम्न में से कौन सा बिंदु परवलय पर है ?

\(\frac{1}{1 ! 50 !}+\frac{1}{3 ! 48 !}+\frac{1}{5 ! 46 !}+\ldots+\frac{1}{49 ! 2 !}+\frac{1}{51 ! 1 !}\)  का  मान है: