\(2\) इकाई लंबी एक तार को दो भागों में काट कर उन्हें क्रमश: \(x\) इकाई भुजा वाले वर्ग तथा \(r\) इकाई त्रिज्या वाले बुत्त के रूप में मोड़ा जाता है। यादि बनाये गये वर्ग तथा वृत्त के क्षेत्रफलों का योग न्यूनतम है, तो:

\(\left(4^{\frac{1}{4}}+5^{\frac{1}{6}}\right)^{120}\) के द्विपद प्रसार में परिमेय पदों की संख्या है ...... |

एक द्विपद बंटन \(\mathrm{B}(\mathrm{n}, \mathrm{p})\) में माध्य तथा प्रसरण के योग एवं गुणनफल क्रमशः \(5\) व \(6\) हैं, तब \(6(n+p-q)\) का मान है:

माना \(A\), अंकों \(0,1,2,3,4,5,6\) द्वारा बिना पुनरावत्ति के बनाई गई \(6\) अंकों की संख्या के \(3\) से विभाजित होने की घटना को दर्शाता है। तो घटना \(A\) की प्रायिकता बराबर है

एक न्याय पासे को छ: प्राप्त होने तक उछाला जाता है। माना पासे को उछालने की आवश्यक संख्या \(X\) है, तो सप्रतिबंध प्रायिकता \(P ( X \geq 5 \mid X >2)\) है -

यदि एक रेखा \(L\), रेखा \(5 x-y=1\) पर लंबवत है तथा रेखा \(L\) तथा निर्देशांक अक्षों द्वारा बनी त्रिभुज का क्षेत्रफल \(5\) है, तो रेखा \(L\) की रेखा \(x+5 y=0\) से दूरी है

माना \(f: R-\left\{\frac{-1}{2}\right\} \rightarrow R\) तथा \(g: R-\left\{\frac{-5}{2}\right\} \rightarrow R\), \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2 \mathrm{x}+3}{2 \mathrm{x}+1}\) तथा \(\mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{|\mathrm{x}|+1}{2 \mathrm{x}+5}\) द्वारा परिभाषित है। तो फलन \(fog\) का प्राँत ........... है।

यदि फलन \(\log _e\left(\frac{6 x^2+5 x+1}{2 x-1}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{2 x^2-3 x+4}{3 x-5}\right)\) का प्रांत \((\alpha, \beta) \cup(\gamma, \delta]\) है, तो \(18\left(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2\right)\)  बराबर है

\(FARMER\) शब्द के समी विन्यासों (arrangements) अर्थपूर्ण या अर्थहीन, जिनमें दो \(R\) एक साथ नहीं हैं, को लिखा जाता है। सभी विन्यासों को अंग्रेजी शब्दकोश की तरह एल्फाबेटिक क्रम में लगाया जाता है तब शब्द \(FARMER\) का क्रमांक है ......... |

मान \([ x ]\) महत्तम पूर्णांक \(\leq x\) है। यदि \(n \in N\) के लिए \(,\left(1-x+x^{3}\right)^{n}=\sum_{j=0}^{3 n} a_{j} x^{j}\) है, तो  \(\sum_{j=0}^{\left[\frac{3 n}{2}\right]} a_{2 j}+4 \sum_{j=0}^{\left[\frac{3 n-1}{2}\right]} a_{2 j+1}\)  बराबर है 

उन बिन्दुओं, जहाँ वक्र \(f(x)=e^{8 x}-e^{6 x}-3 e^{4 x}-e^{2 x}+1, x \in \mathbb{R}, x\)-अक्ष को काटता है, की संख्या है_______

माना \(y = y ( x )\) अवकल समीकरण \(x\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+\left(3 x^2 y-y-4 x^3\right)=0, x > 1\),का हल है जिसमें \(y (2)=-2\) है। तब \(y (3)\) बराबर होगा

माना \(a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{10}\) गुणोत्तर श्रेणी में है जिसमें \(i =1,2, \ldots, 10\) के लिये \(a _{ i }>0\) है तथा युग्मों \(( r , k ), r , k \in N\) (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय) का समुच्चय \(S\) है जिसके लिये \(\left|\begin{array}{lll}\log _{ e } a_{1}^{ r } a _{2}^{ k } & \log _{ e } a _{2}^{ r } a _{3}^{ k } & \log _{ e } a _{3}^{ r } a _{4}^{ k } \\ \log _{ e } a _{4}^{ r } a _{5}^{ k } & \log _{ e } a _{5}^{ r } a _{6}^{ k } & \log _{ e } a _{6}^{ r } a _{7}^{ k } \\ \log _{ e } a _{7}^{ r } a _{8}^{ k } & \log _{ e } a _{8}^{ r } a _{9}^{ k } & \log _{ e } a _{9}^{ r } a _{10}^{ k }\end{array}\right|=0\) है। तब \(S\) में अवयवों की संख्या होगी